Question

$1^{7}+2^{7}+\ldots +22^{7}\equiv x(mod23) $ denkliginde x'in en kucuk dogal sayi degeri kactir

Answer 1

$(1)^{7}+(2)^{7}+...+11^{7}+12^{7}+(-11)^7+...+(-2)^{7}+(-1)^{7}=12^{7}=xmod(23)=(144)^{3}.12=6^{2}.72=36.3=39=16mod(23)$

Comments

$12^{7} $ yi fazladan yazmşm dalgnlk o olmazsa sıfır dikkat edersen

Answer 2

$1^7+2^7+...+10^7+11^7+12^7+(-10)^7++...+(-2)^7+(-1)^7=11^7+12^7=x \mod(23)\\ x=0$

Answer 3

$$1^7+2^7+\ldots +22^7\equiv x(23)$$

$$\Rightarrow$$

$$1^7+2^7+\ldots +10^7+11^7+(-11)^7+(-10)^7+\ldots +(-2)^7+(-1)^7\equiv x(23)$$

$$\Rightarrow$$

$$x=0$$

Answer 4

Uc adet ayni cozum var. Sayilar teorisinin basit ve ortaogretimce anlasilir cozumu.

Ben de lisan seviyesi olarak, sonlu cisimler bakis acisiyla olabilecek baska bir cozum vereyim.

$23$ asal bir sayi, yani sonlu bir cisim olusturmak icin ideal bir sayi. $1$'den $22$'ye kadar olan sayilar da bunun carpim grubunun elemanlari ve  ayrica da $(7,23-1)=(7,22)=1$ yani kuvvet carpim grubunun mertebesi ile aralarinda asal. Yani bu kuvvet sadece elemanlari kendi arasinda tekrar donduruyor. ($1+2+3+\cdots+22$ oluyor yani). Bu toplam da $0$.

Aslinda sonlu cisimlerde, cogu yerde de kullanilan, basit bir arac bu.