Kuvvet alanında tanımlanan vektörün yaptığı işi bulun.

Question

A unit particle is moved in an anticlockwise manner round a circle with center $(0,0,4)$ and radius

$2$ in the plane $z = 4$ in a force field defined as $F=(xy+z)i+(2x+y)j+(x+y+z)k$ . Find the

work done.

soru bu şekilde ingilizce kaynaktan.şöyle çevirebildim nacizane ^^

Bir birim parçacık saatin tersi yönünde  ,z=4 düzleminde merkezi (0,0,4) noktası, yarıçapı 2 birim olan , kuvvet alanı $F=(xy+z)i+(2x+y)j+(x+y+z)k$ şeklinde tanımlanan çemberin etrafında saatin tersi yönünde hareket ettiriliyor.

yapılan işi bulunuz.

eğer gittiği yere dönücekse, iş 0 olur tahminen.değilse fikirlerinize açığım :)

Comments

Sıfır olduğunu nereden biliyorsunuz? Ya değilse? Ya da bahsettiğiniz gibi iş ne zaman sıfır olur?

---

yer değiştirme olmamışsa sıfır olur tahminimce.ancak burda o söz konusu değil sanırım 

---

Yapılan işi bir eğrisel integral ile bulmanız isteniyor.

---

cevaba ulaştım,başka bi forumdan :D.isterseniz burayada eklerim.

---

Ekleyebilirsen iyi olur. Benzer soruların çözümüne yararı olur.

Answer 1

Öncelikle kuvvet korunumlu mu kontrol etmek iyi faydalı olabilir. Eğer korunumluysa, o zaman kapalı eğri üzerinde yapılan iş sıfır olacaktır. Bunun kontrolü $\nabla\times \textbf{F}=0$ eşitliğinin sağlanıp sağlanmamasına bağlıdır. Bu ifadede yalnız $x$ bileşenine bakılsa, $\partial F_y/\partial z-\partial F_z/\partial y=-1\not =0$ ve alanın korunumsuz olduğu görülür.

O zaman devam edelim... İşin hesaplanması istenen yol $z=4$ düzleminde; dolayısıyla $$\textbf{F}(x,y,4)=(xy+4)\textbf{i}+(2x+y)\textbf{j}+(x+y+4)\textbf{k}$$ yazılır. Artık problemi $x\circ y$ düzlemindeki $2$ yarıçaplı çember üzerinden integrale indirgedik. $d\textbf{r}=dx\, \textbf{i}+dy\,\textbf{j}+dz\, \textbf{k}$ yerdeğiştirmesini hatırlarsak, $$\int_C\textbf{F}(x,y,4)d\textbf{r}=\int_C[(xy+4)\textbf{i}+(2x+y)\textbf{j}+(x+y+4)\textbf{k}]\cdot[dx\, \textbf{i}+dy\,\textbf{j}+dz\, \textbf{k}]$$

Yol integralinde $z$'de değişim sözkonusu değildir: $dz=0$ Buna göre integral basitleşir:  $$\int_C\textbf{F}(x,y,4)d\textbf{r}=\int_C[(xy+4)\textbf{i}+(2x+y)\textbf{j}]\cdot[dx\, \textbf{i}+dy\,\textbf{j}]$$

Bu adımda, yolu parametrize edelim. Yarıçapı $2$ olan çemberi: 

$$x=2\cos\theta$$ $$y=2\sin\theta$$ şeklinde parametrize edebiliriz. Buna göre,

$$\int_C\textbf{F}(x,y,4)d\textbf{r}=-2\int\limits_0^{2\pi}[(4\cos\theta\sin\theta+4)\sin\theta-(4\cos\theta+2\sin\theta)\cos\theta ]d\theta$$ yazabiliriz. Burada dört integral mevcut. Bunların 1, 2 ve 4.'sü sıfır verir. Sonuç: $$\int_C\textbf{F}(x,y,4)d\textbf{r}=8\int\limits_0^{2\pi}\cos^2\theta d\theta=8\pi.$$

Comments

Teşekkürler hocam cevap için,epey buffladım,namınız yürüsün :D

---

Yol integrallerinde, parametrizasyona dikkat etmek gerek. Gerisi kolaydır. Teşekkürler :)

---

haklısınız hocam,ben teşekkür ederim.iyi geceler

Answer 2

Başka bir forumdan cevabı alıntı olduğu için,o şekilde paylaşıyorum.

https://math.stackexchange.com/questions/3425150/find-the-work-done-in-force-field/3425225#3425225