$e^x=u$ dönüşümü yapalım.
$$e^x=u\Rightarrow \dfrac{du}{dx}=e^x=u$$
$$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\dfrac{du}{dx}=u\dfrac{dy}{du}$$
$$\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)=\dfrac{d}{dx}\left(u\dfrac{dy}{du}\right)=u\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{dy}{du}\right)+\dfrac{dy}{du}\left(\dfrac{du}{dx}\right)=u\dfrac{d}{du}\dfrac{du}{dx}\left(\dfrac{dy}{du}\right)+\dfrac{dy}{du}\dfrac{du}{dx}=u^2\dfrac{d^2y}{du^2}+u\dfrac{dy}{du}$$
Bunları diferensiyel denklemde yerine yazarsak
$$y''-y+e^{2x}y=\left(u^2\dfrac{d^2y}{du^2}+u\dfrac{dy}{du}\right)-u\dfrac{dy}{du}+u^2y=u^2\dfrac{d^2y}{du^2}+u^2y=u^2\left(\dfrac{d^2y}{du^2}+y\right)=0$$
elde edilir. $u=e^x$ olduğundan $u^2=0$ olamaz. O halde
$$\dfrac{d^2y}{du^2}+y=0$$
olmalıdır. Bundan sonrası zor olmasa gerek artık. Bu ikinci mertebeden sabit katsayılı homojen bir diferensiyel denklemdir. Çözümünü de bulmak gayet kolay.