Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.1k kez görüntülendi

$\dfrac {d^{2}y} {dx^{2}}=\dfrac {dy} {dx}-e^{2x}y$  diferansiyel denkleminin çözümü nedir? bu denklemin tipi hakkında bilgi verebilir misiniz? denklemleri sınıflandırmanın bir sistematiği var mıdır?

Lisans Matematik kategorisinde (17 puan) tarafından 
tarafından yeniden kategorilendirildi | 1.1k kez görüntülendi

İkinci mertebeden değişken katsayılı homojen dif. denklem.

hocam wolfram alpha 2. dereceden lineer diferansiyel denklem diyor ve çözümü $y=c_{1}\cos \left( e^{x}\right) +c_{2}\sin \left( e^{x}\right)$ olarak veriyor.

İkinci dereceden değil, ikinci mertebe birinci dereceden bir dif. denklem.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$e^x=u$ dönüşümü yapalım.

$$e^x=u\Rightarrow \dfrac{du}{dx}=e^x=u$$

$$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\dfrac{du}{dx}=u\dfrac{dy}{du}$$

$$\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)=\dfrac{d}{dx}\left(u\dfrac{dy}{du}\right)=u\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{dy}{du}\right)+\dfrac{dy}{du}\left(\dfrac{du}{dx}\right)=u\dfrac{d}{du}\dfrac{du}{dx}\left(\dfrac{dy}{du}\right)+\dfrac{dy}{du}\dfrac{du}{dx}=u^2\dfrac{d^2y}{du^2}+u\dfrac{dy}{du}$$

Bunları diferensiyel denklemde yerine yazarsak

$$y''-y+e^{2x}y=\left(u^2\dfrac{d^2y}{du^2}+u\dfrac{dy}{du}\right)-u\dfrac{dy}{du}+u^2y=u^2\dfrac{d^2y}{du^2}+u^2y=u^2\left(\dfrac{d^2y}{du^2}+y\right)=0$$

elde edilir. $u=e^x$ olduğundan $u^2=0$ olamaz. O halde 

$$\dfrac{d^2y}{du^2}+y=0$$

 olmalıdır. Bundan sonrası zor olmasa gerek artık. Bu ikinci mertebeden sabit katsayılı homojen bir diferensiyel denklemdir. Çözümünü de bulmak gayet kolay.
(11.4k puan) tarafından 
20,200 soru
21,728 cevap
73,277 yorum
1,888,007 kullanıcı