Basamak çözümlemesi ile alakalı bir soru

Question

a,b,c,d,e,f birbirinden farklı rakamlar ab,cd,ef iki basamaklı doğal sayılar olmak üzere

                           $ab+cd+ef+x=364$

olduğuna göre x kaç farklı değer alabilir?

İnternete göre çözüm şöyle:

x'i en küçük tutmak için $ab+cd+ef$ en büyük olmalı. Bu da a,c,e'ye sırasıyla 9,8,7 ve b,d,f'ye de sırasıyla 6,5,4 verince olur. x 109 $ab+cd+ef$ ise 255 olur.

x'i en büyük tutmak için $ab+cd+ef$ en küçük olmalı. Bu da a,c,e'ye sırasıyla 1,2,3 ve b,d,f'ye de sırasıyla 0,4,5 verince olur. x 295 $ab+cd+ef$ ise 69 olur.

295-109+1=107 x'in 107 farklı değeri vardır.

Benim aklıma takılan $ab+cd+ef$ ifadesini 69 ile 255 arasındaki tüm değerleri sağlatan birbirinden farklı  a,b,c,d,e,f rakamlarının var olduğunu nasıl bilebiliriz? Yani 69 ile 255 arasında bulunan herbir sayının her zaman $ab+cd+ef$ şeklinde ifade edilebileceğini nasıl ispatlayabiliriz?

Comments

$a$, $c$ ve $e$ sayılarını sabit tutup $b$, $d$ ve $f$'yi oynatarak belli bir bölümün yazılabildiğini gösterebiliriz.

Mesela $a=9$, $c=8$ ve $e=7$ olduğu durumda, $b$, $d$ ve $e$'yi maksimum $b=6$, $d=5$ ve $f=4$ alırız minimum durumda da $b=0$, $d=1$ ve $f=2$ alabiliriz. Bu $ab+cd+ef=255$'ken toplamın değerini 12 azaltabiliriz anlamına geliyor. Yani $243$'e kadar tüm sayılar yazılabilirler.

Şimdi $e$'nin değerini bir düşürüp $a=9$, $c=8$ ve $e=6$ alabiliriz. Bu durumda da $b$, $d$ ve $f$'yi maksimum $b=7$, $d=5$ ve $f=4$ ve minimum $b=0$, $d=1$ ve $f=2$ alabiliriz. Bu durumda da toplamın değerini $13$ azaltabiliriz. Burdan da $233$'e kadar yazabileceğimiz çıkar. 

 

Bunu böyle teker teker devam ettirirsek tüm sayıların yazılabileceğini görürüz. Tabi arada istisna durumlar var ama onlar pek etkilemiyor. Mesela $a=9$, $c=8$ ve $e=3$ alırsak $b$, $d$ ve $f$'yi maksimum $b=7$, $d=6$ ve $f=5$ ve minimum $b=0$, $d=1$ ve $f=2$ alabiliriz ama aradaki $b+d+f=4$ değeri alınamaz. Ama bu önemli değil çünkü $7+6+5-1-2-0=15$. Bir değerin ( alınabilecek en küçük 2. değer) alınamamasını bu değeri başka bir yerde alarak telafi edebiliriz. Nitekim $b+d+f=4$ değerini, $e=2$ ve $b+d+f=14$ eşitliğinde alabiliriz.