Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
415 kez görüntülendi


Serbest kategorisinde (1.8k puan) tarafından  | 415 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap
1. Elimizde merkezinin ($O$ noktasi) koordinatlari rasyonel olmayan bir cember olsun. Bu cember uzerinde iki tane rasyonel nokta (her iki koordinati da rasyonel olan nokta) alalim: $A = (q_1, q_2)$ ve $B = (p_1, p_2)$. $AOB$ ucgeni ikizkenar ucgendir cunku cemberin tanimindan dolayi $|OA| = |OB|$. Bu durumda, $AB$'nin orta noktasindan ve merkezden gecen dogru ($L_{AB}$ diyelim), $AB$'ye diktir (Demek istedigim, kenarortay ayni zamanda yuksekliktir.)

2. $A$ ve $B$ noktalari, rasyonel noktalar olduklari icin bu iki noktadan gecen dogrunun egimi $m = \frac{q_2 - p_2}{q_1 - p_1}$ de rasyoneldir. Bu dogrunun $y = mx + n$ formunda olmasi gerektiginden ve $A = (q_1, q_2)$ noktasinin bu dogrunun uzerinde bulunmasi gerektiginden, $q_2 = mq_1 + n$ olmasi ve bu nedenle $n$'nin de rasyonel olmasi gerekir. 

3. $AB$ dogru parcasinin orta noktasi da ($E$ diyelim) rasyonel olmalidir. 

4. $AB$ dogrusunun egimi $m$ ise, buna dik olan yukaridaki $L_{AB}$ dogrusunun egimi de $- \frac{1}{m}$ olmalidir. Yani, $L_{AB}$ dogrusunun egimi de rasyoneldir. 

5. 3 ile 4'u birlestirirsek $L_{AB}$ dogrusu, katsayilari rasyonel sayilardan olusan bir dogru denklemi ile verilmelidir. Cunku egimi rasyonel, ve ayni zamanda $E$ rasyonel noktasindan geciyor. (2.deki  argumani hatirla)

Simdi!

Diyelim ki bu $A$ ve $B$ noktalarinin disinda bir ucuncu nokta, $C$ rasyonel noktasi bulunsun cemberimizin uzerinde. Yukarida oynadigimiz oyunun aynisini $A$ ve $C$ noktalari ile oynayalim. Ayni sekilde $L_{AC}$ dogrusunu elde edelim. Ve bu dogrunun denkleminin katsayilarinin rasyonel olmasi gerektigini gorelim. Ayni zamanda, tabii ki bu dogrunun da merkezden gectiginin farkina varalim.

Elimizde iki dogru var. $L_{AB}$ ve $L_{AC}$. Bu iki dogrunun da denkleminde katsayilar rasyonel. Demek ki bu iki noktanin kesimi bir rasyonel sayi olmali. Neden? $y = mx + n$ ve $y = m'x + n'$ dogrularini ayni anda saglayan bir $(x,y)$ noktasi var ise $m x+ n = m'x + n'$ olmali. Buradan $x$'in rasyonel olmasi gerektigi ortaya cikiyor, cunku $m, n, m', n' $ rasyonel. Dolayisiyla da $y$ rasyonel. 

Ne dedik? Bu iki dogrunun kesisimi bir rasyonel nokta olmak zorunda. Ama bu iki nokta cemberimizin merkezinde kesiyorlar sadece! Ve cemberimizin merkezinin rasyonel olmadigini biliyoruz.

Demek ki, bu kosullarda cemberimizin uzerinde uc rasyonel nokta bulunamaz. Yani en fazla 2.


(2.5k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

böyle bir merkezi olan bir çemberin üzerinde her 2 koordinatı da rasyonel olan 2 noktayı bulabileceğimiz nereden tam olarak belli, density theorem'i 2 boyutta düşünürsek reel bulunan her çemberde rasyonel ve irrasyoneller vardır diyebiliriz belki ama buradan da bariz olmuyor galiba, çünki çemberin yarıçapını keyfi olarak seçiyoruz, sorudan dolayı sanırım.

20,247 soru
21,774 cevap
73,414 yorum
2,136,221 kullanıcı