Kümenin İki Elemanlı Alt Kümelerinin Kaçında Elemanlar Toplamı $n$'yi Geçmez?

Question

$\{1,2,3,\cdots,n\}$ kümesinin iki elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinin elemanları toplamı $n$'den büyük değildir?

Ben şöyle yapmayı denedim:

Eğer $1$ elemanını alırsak $2$'den $n-1$'e kadar olan elemanları 2. eleman olarak seçebiliriz.

Eğer $2$ elemanını alırsak $3$'den $n-2$'e kadar olan elemanları 2. eleman olarak seçebiliriz

$\vdots$

Eğer $\left\lfloor\dfrac{n}{2}\right\rfloor$ elemanını alırsak $\left\lfloor\dfrac{n}{2}\right\rfloor+1$'den $n-\left\lfloor\dfrac{n}{2}\right\rfloor$'e kadar olan elemanları 2. eleman olarak seçebiliriz

Eleman sayılarını toplarsak:

$(n-2)+(n-4)+\cdots+n-2.\left\lfloor\dfrac{n}{2}\right\rfloor=n.\left\lfloor\dfrac{n}{2}\right\rfloor-\left\lfloor\dfrac{n}{2}\right\rfloor\left(\left\lfloor\dfrac{n}{2}\right\rfloor+1\right)$

İşlemleri böyle yaptım ve sonucu

$=\left\lfloor\dfrac{n}{2}\right\rfloor\left(n-\left\lfloor\dfrac{n}{2}\right\rfloor-1\right)$ buldum. Ama bu ifade yeteri kadar sade değil galiba buradan sonra nasıl devam edebilirim?

Comments

İfade sade. n yerine 2k ve 2k+1 yazarak iki duruma da ayırabiliriz. 

---

Hocam $\forall n\in\mathbb{N^+}$ için $\left\lfloor\dfrac{n}{2}\right\rfloor\left(n-\left\lfloor\dfrac{n}{2}\right\rfloor-1\right)=\left\lfloor\dfrac{\left(n-1\right)^2}{4}\right\rfloor$ bulunuyor. Bu ifade daha sade duruyor. Buna nasıl ulaşabiliriz?

---

Altkümeleri $(a,b)$ ile işaretleyelim. Bunlar $a+b<n$ ifadesini sağlamalı. Bu ifadeyi $a\circ b$ düzleminde ifade edersen, dik kenarları $n$ olan bir ikizkenar üçgen elde edilir. Bu üçgen içinde kalan noktaların sayısı olarak bakabilirsin. Aradığın gibi bir ifade gelmeli.

---

Hocam yorumunuzda bahsettiğiniz $a\circ b$ düzlemi neyi ifade ediyor?

---

$xy$ düzlemi var ya; onun aynısının tıpkısı. $a$ değerlerini yatay, $b$ değerlerini de dikey eksene yerleştirirsen $ab$ düzlemi olur bu sefer.