Analitik düzlemde $f(x)=\frac {x^2}{x+1}$ eğrisinin yerel maksimum noktasından ve orijinden geçen doğru, $g(x)=x^2+3x+a$ parabolüne teğettir. Buna göre $a$ kaçtır?

Question

Yerel maksimum noktası için;

f'(x)= xkare+2x=0 

x=0 ve x=-2 gelir.

Tablo yaptığımızda yerel maksimum noktasının apsisinin -2 olduğunu görürüz .Ordinatının ise fonksiyonun kendisinde -2yi yerine koyunca -4 olduğunu görürüz .

Bundan sonrasını getiremedim .

Yardımcı olur musunuz?

Comments

O noktadan ve orijinden geçen doğrunun eğimi kaç olur?

Parabolun hangi noktasındaki teğet aynı eğime sahiptir?

---

 doğrunun eğimi teğet oldukları için parabolün eğimine eşittir.Parabolün eğimi 2 dir. Diğer sorunuzun cevabını bulamadım.

---

Parabolun eğimi (doğru olmadığı için) olmaz. 

Her noktasındaki teğetinin eğimi farklıdır. 

Bir noktadaki teğetinin eğiminin nasıl bulunacağını biliyor musun?

---

Anladım. O zaman teğet olan doğrunun eğimi parabolün o noktasındaki eğimine eşittir diyebilir miyiz ?

Hayır , parabolün  bir noktasındaki teğetinin eğiminin nasıl bulunacağını bilmiyorum.

Çok teşekkürler.

Answer 1

Önce verilen fonksiyonun extremum noktalarını bulalım.

$f'(x)=\frac{2x(x+1)-x^2}{(x+1)^2}=0$ dan $x^2+2x=0$ ve fonksiyon $x=0,x=-2$ apsisli noktalarda extremum yapıyormuş. Eğer bir değişim/işaret tablosu yapılırsa $x=-2$ için $f(-2)=-4$ maksimum değer olur.  

Demek ki $(0,0),(-2,-4)$ noktalarından geçen doğru parabole teğetmiş. Önce bu doğrunun eğimini ve sonra da denklemini bulalım.

$m=\frac{0-(-4)}{0-(-2)}=2$ olur. Bu doğrunun denklemi : $y=2x$  dir. Şimdi parabolün eğimi iki olan noktasını bulmalıyız.

$g'(x)=2x+3=2\Rightarrow x=-1/2$ olur. Apsisi $-1/2$ olan nokta hem doğrunun hem de parabolün üzerinde olduğundan 

$y=2.\frac{-1}{2}=-1$ olup bu değer parabolü sağlar $-1=(\frac{-1}{2})^2+3\frac{-1}{2}+a\Rightarrow a=1/4$ bulunur

Comments

Anladım .Çok teşekkür ederim .

---

Önemli değil. İyi çalışmalar.