Question

$f(z)=\sin^3z$  kuralı ile verilen $f$ fonksiyonunun Maclaurin seri açılımını bulunuz.

$\sin^3z=\sin z\cdot \sin^2z=\sin z\cdot\dfrac {1-\cos2z}{2}$ diyip

$\sin z$ ve $\cos z$ seri açılımlarından yararlanıp 

$\dfrac {1}{2}\displaystyle\sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {(-1)^n.z^{2n+1}}{(2n+1)!}.\dfrac {1}{2}\displaystyle\sum ^{\infty }_{n=1}\dfrac {(-1)^n.(2z)^{2n}}{(2n)!}$ buldum.

Tek bir sembol altında nasıl yazabilirim. $n=1$ olanı $n=0$ yapıp içindeki $n$'leri $1$ artırırsam $(z-z_0)^n$ kısmı eşit olmuyor, nasıl bir yol izlemem gerekir?

Comments

Suna bi bak istersen https://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%5E3x+series

---

Buarada $\sin z$ dagittigin zaman aradaki $-$ isaretine ne oldu.. $\dfrac {1}{2}\displaystyle\sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {(-1)^n.z^{2n+1}}{(2n+1)!}-\dfrac {1}{2}\displaystyle\sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {(-1)^n.z^{2n+1}}{(2n+1)!}\displaystyle\sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {(-1)^n.(2z)^{2n}}{(2n)!}$ olamasi gerekiyor sanirim.

Not: \sin z kullansan daha iyi olur.

---

Biraz arastirinca hilesinin su oldugunu ogrendim. $$\sin3z=3\sin z-4\sin^3z$$ Gerisi kolay.

$$\sin^3z=\frac{1}{4}(3\sin z-\sin3z)$$

---

Okkes hocam $\sin z$ yi dağıtırken sondaki ifadeyi $n=1$ den başlatmışsınız neden?

---

WolframAlpha da $\sin^3z$ yazınca $\sin^3z=\frac{1}{4}(3\sin z-\sin3z)$ hilelisi çıkıyor ama nasıl elde ederiz acaba?

---

$\dfrac {1}{2} {\LARGE\displaystyle\ [ } \displaystyle\sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {(-1)^n.z^{2n+1}}{(2n+1)!} {\LARGE\displaystyle( } 1-\displaystyle\sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {(-1)^n.(2z)^{2n}}{(2n)!}\LARGE\displaystyle\ )\LARGE\displaystyle\ ] $ = $\dfrac {1}{2}{\LARGE\displaystyle\ [ } \displaystyle\sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {(-1)^n.z^{2n+1}}{(2n+1)!}\displaystyle\sum ^{\infty }_{n=1}\dfrac {(-1)^n.(2z)^{2n}}{(2n)!}{\LARGE\displaystyle\ ]}$ dedim

---

Senden koplayadagim icin degistirmeyi unutmusum. Esitligin dogru ama ordan bisey cikacagini sanmiyorum. Buarada 2. esitligin basinda $-$ olmasi lazim. $\sin^3z=\frac{1}{4}(3\sin z-\sin3z)$ esitligini gostermek ayri bir soru olsun..

---

https://socratic.org/questions/how-do-you-prove-sin3x-3sinx-4sin-3x  surda esitligin ispati var.

---

Teşekkürler Okkes hocam

---

Sitede varmış Bakınız

---

Tesekkurler hocam