1'in soldan limiti

Question

[latex yazmadım k.b.]

x'in 1'e soldan giderkenki limiti 1 değil ancak 1 den çok küçük bir sayı. Eşit olmaması mutlak değer işlemleri için önemli ancak bu sayı 0.999999.... diye gidecek çünkü aradaki fark yok denecek kadar az, bu da bu sayıyı devirli sayı hâline getiriyor ve bildiğimiz gibi 0.999999... = 1

1'in soldaki limiti 1'e eşit çıkıyor, peki buradaki hata nerede?

Comments

"x'in 1'e soldan giderkenki limiti 1 değil ancak 1 den çok küçük bir sayı."

Net bir ifade değil. "Çok küçük" belirsiz bir ifade.

(Bir de "x'in 1'e soldan giderkenki limiti" kısmında da eksik bir şey var. $\lim_\limits{x\to1^-}$ ifadesinde fonksiyon eksik. Fonksiyonun $x$ olduğunu mu kabul ediyoruz?)

---

Arkadaşlar orayı zaten anlaşılmıştır diye yazma gereği duymadım. Biliyorum, matematik konu olunca en ufak detay dahi gereklidir, bunu (maalesef) çok ünlü bir matematik yabancı forumundan biliyorum (nerdeyse her soruya burada neyi kastettiniz diyorlar) . Ama benim kastım matematik dilindeki çok küçük, yani yok denecek kadar az, epsilon miktarı, pozitif sıfır, 1/sonsuz, oradaki çok küçük. Yani nerdeyse 0,01 devirli sayısı (0'ın devirli olması mantıksız ama 0dan büyük en küçük Reel sayı demek istedim.)

Evet, x olduğunu kabul edebilirsiniz, soruyu yazarken de aklıma direkt o geldi zaten.

---

Aşağıdaki mantığı biraz daha kısaltmak mümkün:

$\lim_{x\to1^-}x<1$ ise  $f(x)=x$ fonksiyonu 1 de süreksiz olur!

($\lim_{x\to1^-}x<1$ ise (ispatlanabilir ki) $\lim_{x\to1^+}x>1$ olur O zaman da $f(x)=x$ fonksiyonu 1 de süreksiz olur!)

Tüm matematik kaos a girer!

Bunlar limit kavramının tam anlaşılamadığını gösteriyor.

(Limitin, günlük dildekine benzer, ulaşılamayan, erişilemeyen bir şey olarak düşünülmesi ile ilgili olabilir)

$\lim_{x\to1^-}x=1$ olduğunun ispatı:

$\varepsilon>0$ sayısı verilsin. 

$\delta=\varepsilon$  alalım.

$0<x-1<\delta$ olsun.

$|f(x)-1|=|x-1|=x-1<\delta=\varepsilon$ olur.

---

@RİYAZİYE sence $\lim\limits_{x\to1^-}x$ hangi sayıya eşit?

---

Bence limit bir yaklaşım olduğu için eşitlikten söz edemeyiz. 1' e yaklaştığını ancak bu yaklaşımın sonsuza dek süreceğini yani 1'e asla ulaşılamayacağını düşünüyorum. Hatta belki, 0.9 devirli sayısına bile ulaşamayacak. Ancak sizin süreksizdir dediğiniz yeri anlamadım, daha açık anlatabilirseniz sevinirim.

Answer 1

Eğer limit 1'e eşit değilse o zaman virgülden sonra ancak sonlu sayıda 9 olabilir. Yazdığın gibi 0,99999... değildir çünkü senin de söylediğin üzere öyle olsaydı limit 1 olurdu. 

Comments

Peki sonlu sayıda 9 demek, aradaki farkın daha da küçük olabileceği anlamına gelmiyor mu?

mesela 0.99998 diye bitmesi hâlinde her zaman 0.999999998 diye daha küçük bir fark olmaz mı