Bir noktanın inflection point olması için gereken koşullar hakkında

Question

Kaynaktan kaynağa bir noktanın inflection point olup olmadığını belirleyen koşulların değiştiğini gözlemledim.Özellikle genel kabul :

“f(x) bir fonksiyon olmak üzere, f(x) fonksiyonunun sahip olduğu inflection pointleri bulmak için ikinci türevin 0 a eşit olduğu noktalar saptandıktan sonra, fonksiyonda bu noktaların sağında ve solunda kalan noktalarda fonksiyonunun ikinci türevinin sahip olduğu işaretler kontrol edilir...”

Yaptığım tanımın matematiksel dilden uzak ve kavramsal hatalara sahip olabileceğini kabul ettikten sonra ;

Takıldığım nokta f(x) fonksiyonunun ikinci türevini sıfır yapan noktaların aranması olayı oldu.Bunun aksi için x^1/3 fonksiyonunun örnek verebilirim.Örneğini verdiğim fonksiyonda x = 0 noktası inflection point tanımını sağlamaktadır.Bu açıdan bir noktaya inflection point diyebilmek için gereken koşullar nelerdir ?

Comments

Aslında, tanımda 2. türev ile bir şey söylemek gerekmiyor.

Konvekslik/konkavlık (veya aşağı bükey/ yukarı bükey) gibi bir kavram (ikinci türevin işareti onu belirlemeyi kolaylaştırıyor) tanıdık geliyor mu? 

Onun değişmesi  esas koşul olmalı. Başka koşullar da eklenebilir.

---

İnflection nokta (büküm, dönüm noktası) tanımında fonksiyonun konvekslikten konkavlığa geçtiği nokta diyoruz ve bu noktada 2. türevin tanımlı olması şart değil diyoruz ($y=x^{1/3} $ fonksiyonunda olduğu gibi). 2.türev (eğer varsa) işaret belirlemekte bir araç gibi kullanılıyor. $y=|x^2-4x|$  fonksiyonunu düşünelim. Bu fonksiyonun $x=0$   ve  $x=4$  noktalarında sivri noktaları vardır ve bu noktalarda türevli değildir. Ancak fonksiyon $0$ noktasının solunda konveks, $(0,4)$ aralığında konkav ve $x=4$ noktasının sağında konvekstir.  Bu örneği gözönüne alırsak büküm noktasından her zaman teğet çizilemeyeceğini de söyleyebiliriz.

---

 @alpercay, yorumdaki son sözcük "konvekstir" olacaktı herhalde.

---

Bu tanımlarla düşünülürse büküm noktasında süreklilik de şart değil; çukurluğun yön değişitirmesi yetiyor. Hatta fonksiyonun sürekli olduğunu söylemeye de gerek yok; verilen aralıkta konveks ya da konkavsa  -yanlış hatırlamıyorsam- zaten süreklidir (bu ifadenin karşıtı doğru değil).