İlk olarak bir kaç tanım ve teoremi verelim:
Konveks Fonksiyon: $I \subset \mathbb R $ konveks bir küme olsun. $f:I \to \mathbb R$ fonksiyonu her $x,y \in I $ ve her $ 0\leq \lambda \leq 1 $ gerçel sayısı için $f(\lambda x + (1- \lambda)y) \leq \lambda f(x) + (1-\lambda) f(y) $ eşitsizliğini sağlıyorsa $f$ ye $I$ üzerinde konveks fonksiyon denir.
Burada konveks kümenin tanımını vermeyeceğiz ama $\mathbb R$ için $[a,b] , (a,b], [a, \infty)$ ... vb aralıklar düşünülmelidir.
Uyarı: Bir çok önemli analiz (calculus) kitabında, bir aralıkta ikinci türevi pozitif olan fonksiyonlara konveks fonksiyon denmektedir. Gerçekte konvekslik tanımı yukarıdaki gibidir ve türevlenebilme koşulu yoktur. Bununla birlikte, bir aralıkta ikinci türevi pozitif olan fonksiyonların konveks olduğunu anlatan bir teorem vardır. Yani bu ikinci türev ile ilgili ifade bir tanım değil, teoremdir.
Teorem: $f$, $[a,b]$ aralığında sürekli ve $(a,b)$ aralığında iki kez türevlenebilir bir fonksiyon olsun. $f$ nin $[a,b]$ üzerinde konveks fonksiyon olması için gerek ve yeter şart her $x \in (a,b)$ için $f''(x)\geq 0$ olmasıdır.
Teorem: Bir aralıkta konveks olan bir fonksiyon, aynı aralıkta süreklidir.
Bu teoremin sonucunda kapalı aralıkta konveks olan bir bir fonksiyonun (Riemann anlamında) integrallenebilir olduğunu söyleyebiliriz.
Öğretim yöntemi olarak, kolaylık ve anlaşılırlık açısından konveksliğin tanımı ikinci türev yardımıyla verilmiş olabilir. Örneğin $f(x)=|x|$ fonksiyonu da $\mathbb R$ de konvekstir, fakat $x=0$ noktasında türevsizdir. Bunu da belirtmiş olalım.
Şimdi, literatürde Hermite-Hadamard İntegral Eşitsizliği olarak bilinen teoremi verelim. Bu eşitsizlik ilk kez Jacques Hadamard tarafından 1893'te yayınlanmıştır ve bir fonksiyonun ortalama değeri için bir yaklaşım verir:
$f:[a,b] \to R$ konveks fonksiyon olsun. Bu durumda
$$ f\left( \dfrac{a+b}{2}\right) \leq \dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx \leq \dfrac{f(a)+f(b)}{2}.$$
Bu eşitsizliğin sağ tarafı için bir geometrik yorum verebiliriz:
Alan eşitsizliği yorumu verebilmek için $f(x) \geq 0$ olacak biçimde bir grafik çizelim. $A(a,0), B(b,0), C(b,f(b)),D(a,f(a))$ olsun. $f$ $[a,b]$ aralığında konveks fonksiyon olduğundan $[CD]$ kirişi $y=f(x)$ eğrisinin üstünde kalır. Dolayısıyla $ABCD$ yamuğunun alanı, $[a,b]$ aralığındaki eğrinin altında kalan alandan daha büyüktür. $|AD|=f(a)$, $|BC|=f(b)$, $|AB|=b-a$ olduğundan
$$ \int_{a}^{b}f(x)dx \leq (b-a)\dfrac{f(a)+f(b)}{2} $$
elde edilir.
Eşitsizliğin sol tarafına bir geometrik yorum verebilir misiniz? Yani $ABEF$ dikdörtgeninin alanı, $[a,b]$ aralığındaki eğrinin altında kalan alandan daha küçüktür, neden?
Not: Göz kararı, $ABEF$ dikdörtgeninin alanının daha küçük olduğu hissediliyor fakat ben de henüz geometrik yorumuna tam vakıf olamadım. Belki çok basittir, bilemiyorum. Analize dayalı cebirsel tam ispatını biliyorum. Konunun sonunda bunu ekleyebilirim. Hermite-Hadamard Eşitsizliği'nin geliştirilmiş birçok versiyonu vardır. Yine bir geometrik yorumdan hareket ederek H-H'nin klasik versiyonunu geliştirmeye çalışacağım. Muhtemelen bulunmuş bir şey olacaktır ama Türkçe bilgi birikimi açısından burada yazılı halde bulunması faydalı olur.