Bunu şöyle de hesaplayabilirsiniz. Anahtarları denemek demek, anahtarları sırayla seçmek demek. Yani anahtarları dizmek demek. İlk üç denemede kapıyı açabilmeniz için, anahtarları dizdiğinizden kağıyı açan anahtarın dördüncü ya da beşinci olmaması gerek. O halde istemediğiniz durumlar $2.4!$. $4!$'lerden bir tanesi dizimde doğru anahtarın dönrdüncü sırada olduğu durumları sayıyor, diğer $4!$ beşinci olduğu durumları sayıyor. Bütün dizimler de doğal olarak $5!$. Haliyle istediğimiz durumun olasılığı $$\frac{3.4!}{5!}=\frac{3}{5}$$Ama daha kolay biçimde de sayabilirsiniz elbette. (Bu arada ben olasılık sorularını yanlış çözmemle epey bir ün kazandım, uyarayım baştan.)