$e$ sayısı nasıl bulunabilir ?

Question

$\lim\limits_{n\to\infty}(1+\dfrac{1}{n})^n$ neden $2,7182818\cdots$ gibi bir sayıya eşit olur ?

$\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{1}{n}=0$'dır O zaman

$\lim\limits_{n\to\infty}(1+0)^n$=$\lim\limits_{n\to\infty}(1)^n=1$ olması gerekmez mi ?

İyi bir limit bilgim yok ortaöğretimde okuyan bir kişinin anlayacağı düzeyde açıklayabilir misiniz atladığım yer neresi ? ve bu $2,718281828\cdots$ sayısı nasıl bulunur ?

Comments

Şu soruya ve cevabına bakabilirsin

http://matkafasi.com/18126/%241-infty%24-neden-belirsizdir#a18241

---

Şöyle de düşünülebilir:

$n=1$ için $(1+\frac1n)^n=2>1$

$n=2$ için $(1+\frac1n)^n=\frac94>2$

ve her $n\in\mathbb{N}$ için $\left(1+\frac1{n+1}\right)^{\frac1{n+1}}>(1+\frac1n)^n$ olduğu (kolay değil ama) gösterilebilir.

Buna inanırsak $\lim (1+\frac1n)^n$ in 1 e eşit olması imkansızdır.

Biraz daha kolay olarak:

Her $n\in\mathbb{N}$ için $\left(1+\frac1{2n}\right)^{\frac1{2n}}>(1+\frac1n)^n$ olduğu daha kolay (faiz hesabı ile!) görülebilir, çünki:

$(1+\frac1n)^n$ sayısı yıllık %100 (bileşik) faiz oranı ile bankaya yatırılan ve her $\frac1n$ yılda faizi anaparaya eklenen 1 liranın yıl sonundaki değeridir.

---

Bunu excel ile cok rahat gorebilirsin..