2018 Alan Yeterlilik Testi Matematik 19. soru

Question

soru burada

Verilenlerden $x\leq 1$ için $f(x)=2x-x^2+k_1$ şeklinde konveks , $x\geq 1$ için $f(x)=\frac{x^2}{2}-x+k_2$ şeklinde konkav(x-e göre) olduğunu buldum. $k_1,k_2 \in R$ .Ancak soruda istenen sıralamanın $f(0)<f(1)<f(2)$ olduğuna ulaşamadım? 

Comments

Turev pozitif kisimda (bir adet sifiri var ama onemli degil). Yani fonksiyon artan.

---

Bu arada $k_1$  ile $k_2$ arasindaki iliskiyi de bulabilirsiniz cunku fonksiyon surekli. $x=1$ icin ikisi de ayni degeri verecek.

Answer 1

$$f(0)=k_1,$$ $$f(1)=1+k_1=-\frac12+k_2$$ ve $$f(2)=k_2$$ olduğuna göre $$f(0)<f(1)<f(2)$$ olur.

Comments

Teşekkürler Murad hocam.Bazen insan burnunun ucundakini göremiyor işte. Ben daha çok $f$ in grafiğine takıldım da o yüzden...

Answer 2

$b>a$ olmak uzere $f$ fonksiyonu $[a,b]$ uzerinde surekli ve $(a,b)$ uzerinde turevlenebilirse ve de bu turevler pozitif ise $f$ fonksiyonu $[a,b]$ uzerinde artan olur.

$f$ fonksiyonun turevi sonlu sayida sifir degerine esitse bu noktalardan araliklari ayirarak (cikarim olarak) yine artan oldugunu gosterebiliriz.

Dolayisiyla turevi asagidaki gibi olan bir fonksiyon artandir:

Comments

Çizdiğiniz grafik $f'$ fonksiyonuna ait. Ben $f$'in grafiğini istiyorum. Yani türevin grafiği şekildeki gibi ise fonksiyonun ki nasıl?

---

"Ancak soruda istenen sıralamanın f(0)<f(1)<f(2) olduğuna ulaşamadım?" kismi icin cevap vermistim. Fonksiyon artan oldugundan bu esitsizlik saglanir. Yani grafigi ile ilgilenmemize gerek yok.

---

Siz zaten fonksiyonu bulmussunuz. Murad'in cevabinda verdigi gibi de $k_1$ ile $k_2$ arasinda bir sabit kadar fark var. Zaten $g\in\{f+c \ : \ c \in \mathbb R\}$ fonksiyonlarinin hepsi ayni tureve sahip. Bu nedenle bir $k_1$ degeri icin (ornegin sifir) grafik cizerseniz olasi $f$ fonksiyonlari sadece yukari-asagi otelemeleri olur.