Processing math: 19%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.5k kez görüntülendi

H=l2(0,π)    T=d2dx2 operatörünün sınırlı olup olmadığını gösteriniz.Burada 

D(T)=y(x)C[0,π]y(0)=y(π)=0 dir.

-----------------

T:D(T)=y(x)C[0,π],y(0)=y(π)=0

y(x)Ty(x)=y  

x\in[0,\pi]

şimdi burada operatörün lineer olduğunu bilmiyoruz , o halde bilelim! 

y,z \in D(T)  \alpha , \beta skalerler olmak üzere T(\alpha y + \beta z) = \alpha Ty + \beta Tz

olduğunu gösterelim.

x \in [0,\pi]   için  T(\alpha y + \beta z)(x) = -(\alpha y + \beta z )^{''}(x)=-\alpha y^{''}(x)-\beta z^{''}(x)=\alpha Ty(x)+ \beta T(z)

lineer bir operatör aldığımızda sınırlı \iff süreklidir. 

O halde sürekli olduğunu göstermek yeterlidir.

y(x) \in C^{\infty} [0,\pi] olduğundan ikinci mertebeden her zaman türevi vardır. x\in [0,\pi] aralığında türevli ise süreklidir.Dolayısıyla sınırlıdır.(izninizin olduğu taktirde gelecek olan çözüm ile  karşılaştırmak istediğim çözüm)

Akademik Matematik kategorisinde (31 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1.5k kez görüntülendi

Bu çözümde bir karışıklık olmuş herhalde.

Sınırlı olduğunun gösterilmesi istenen şey Ty değil T operatörü. 

(Operatörün sınırlı olması için) Her y için, \left\| Ty\right\|\leq M\left\| y\right\| olacak şekilde bir M\in\mathbb{R} bulmak gerekiyor.

kuvvetle muhtemel hocam , emin olmamak ile birlikte yazdım.Tekrardan yanıtlayacağım.Teşekkür ederim.

kadrkoparan,

Bu uzayda bazı (sonsuz çoklukta olsa daha iyi) fonksiyonlar bulup \left\|y\right\| ve \left\|Ty\right\| yi hesaplamayı denedin mi?

hayır hocam denemedim , kısa süre içerisinde ilgileneceğim.

20,315 soru
21,871 cevap
73,591 yorum
2,890,410 kullanıcı