H=l2(0,π) T=d2dx2 operatörünün sınırlı olup olmadığını gösteriniz.Burada
D(T)=y(x)∈C∞[0,π]y(0)=y(π)=0 dir.
-----------------
T:D(T)=y(x)∈C∞[0,π],y(0)=y(π)=0
y(x)→Ty(x)=−y″
x\in[0,\pi]
şimdi burada operatörün lineer olduğunu bilmiyoruz , o halde bilelim!
y,z \in D(T) \alpha , \beta skalerler olmak üzere T(\alpha y + \beta z) = \alpha Ty + \beta Tz
olduğunu gösterelim.
x \in [0,\pi] için T(\alpha y + \beta z)(x) = -(\alpha y + \beta z )^{''}(x)=-\alpha y^{''}(x)-\beta z^{''}(x)=\alpha Ty(x)+ \beta T(z)
lineer bir operatör aldığımızda sınırlı \iff süreklidir.
O halde sürekli olduğunu göstermek yeterlidir.
y(x) \in C^{\infty} [0,\pi] olduğundan ikinci mertebeden her zaman türevi vardır. x\in [0,\pi] aralığında türevli ise süreklidir.Dolayısıyla sınırlıdır.(izninizin olduğu taktirde gelecek olan çözüm ile karşılaştırmak istediğim çözüm)