Bir adet Trigonometri sorusu

Question

Bugün bir test kitabında dolaşırken rastladığım bir soruyu sizinle paylaşacağım, soru üzerinde çok düşünemedim açıkçası bunun sebebi ile, bir sonuca ulaşamadım; sanırım bir yerde cinlik yapmak gerekiyor, soruyu aynen aktarıyorum =

 

 $\dfrac{1+cos\alpha}{sin\alpha}$ $=$ $\dfrac{1}{2}$ ise, $\dfrac{1-cos\alpha}{sin\alpha}$'nın sonucu nedir? 

 

 Denemelerim; öncelikle herhangi bir bölge belirtilmediği için serbestçe eksisiz üzerinde oynayabiliyordum o yönden kafam rahattı ilk önce bunu halettim ardından; çok ilginç olmayan bir şekilde iç- dış çarpım yaptım fakat buradan bir yere gelemedim açıkçası, ardından denediğim ikinci yol, $\dfrac{1}{2}$'nin aralarında asallığı ve bu durumda oluşan;

 Eğer $ebob(a,b)=1$ ise $\dfrac{x}{y}$=$\dfrac{a}{b}$ durumunda $x=a, y=b$ (Neden?) olacağını görerek, eşitlemek oldu fakat buradan da bir sonuca ulaşamadım yine de deneyerek çok daha farklı bir cebirsel yollardan yürüdüm(Uğraştırdı!) buradan da bir sonuca ulaşamadım yazık ki soruyu çözemedim anlaşılacağı üzere.

 

 Son bir yol olarak kesirleri ayırdım $sec\alpha$'lı ifadeler ve $cot\alpha$'lı ifadeler buldum fakat buradan da bir yere gelemedim.

 Soru üzerinde biraz daha çalışacağım çok zor olmamalı ilerleyen saatlerde bulursam ekleyeceğim. Ayrıca sorunun cevabı "2". Teşekkürler, saygılar. 

Comments

Carpimlarinin 1 oldugunu gorebilirsin aslinda. 

---

Hocam o yolu ekleyecek misiniz? Yoksa bir yorum olarak bırakacak mısınız? ve tabii ki değerli yorumunuz için çok teşekkürler :)

---

Gormesi kolay olur diye eklememistim, ekleyeyim. 

---

Teşekkür ederim hocam

Answer 1

$\sin x \ne 0$ ise  $$\underbrace{\frac{1+\cos x}{\sin x}}_{\text{(bu soru icin) } =1/2}\cdot \frac{1-\cos x}{\sin x}=\frac{1-\cos^2 x}{\sin^2x}=\frac{\sin^2x}{\sin^2x}=1$$ saglanir.

Answer 2

Selamlar, bu sorular gerçekten ufak cinlikler üzerine kuruluyor, durmadan bunlarla uğraşıp aşinalık kazanmak gerekiyor, bazen denk geliyor bazen de çıkaramıyoruz:) $$\dfrac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\dfrac{(1+cos\alpha)(1-\cos\alpha)}{(1+\cos\alpha)(\sin\alpha)}=\dfrac{\sin^2\alpha}{(1+\cos\alpha)\sin\alpha}=\dfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=2$$  

Comments

 Merhabalar Deniz bey, sanırım eş zamanlı yazdık ben yazarken sizinkini göremedim, fakat soruya katkınız için sonsuz teşekkür ederim. Bu çok daha kısa bir yol olmuş ellerinize sağlık :)

---

Rica ederim, sizin de:)

Answer 3

Eve geçtiğimde biraz daha inceleyiverdim çok inlik cinlik gerektirmediği kanaatine vardım nitekim aşağıya çözümü yazıyorum başka çözüm yollarını ekleyebilirsiniz; 

 Evvela, $sin^2\alpha+cos^2\alpha=1$ bilelim (Neden?), ardından basit bir cebir ile $sin\alpha=\sqrt{1-cos^2\alpha}$ $(1)$  yazabiliriz.

1)$1)$ 'de $sin\alpha$ yerine diğer sonucumuzu yazalım  yani ardından $\dfrac{1+cos\alpha}{sin\alpha}$'de $sin\alpha$ yerine diğer sonucumuzu yazalım  yani $(1)$'i yazalım. 

$\dfrac{1+cos\alpha}{sin\alpha}$ $=$ $\dfrac{1+cos\alpha}{\sqrt{1-cos^2\alpha}}$ ardından iki kare farkı ile bu eşitliği tekrar yazalım görmemiz rahat olsun; 

$\dfrac{1+cos\alpha}{\sqrt{1-cos\alpha}\sqrt{1+cos\alpha}}$ $=$ $\dfrac{1}{2}$ ardından alttaki karekök daha fazla sinir bozmadan her iki tarafın karesini alalım $(\dfrac{1+cos\alpha}{\sqrt{1-cos\alpha}\sqrt{1+cos\alpha}})^2$ $=$ $(\dfrac{1}{2})^2$, 

$\dfrac{(1+cos\alpha)^2}{(1-cos\alpha)(1+cos\alpha)}$ $=$ $\dfrac{1}{4}$ elde edilir hülasa;

pay ve paydadakileri göz önüne alırsak ulaşacağımız sonuç;

$\dfrac{(1+cos\alpha)}{(1-cos\alpha)}$ $=$ $\dfrac{1}{4}$'dır buradan sonrası basit cebirdir (Okuyucuya bırakıyorum) buradan 

$cos\alpha$ $=$ $\dfrac{-3}{5}$ olur  buradan sonrası istersek cebir ile istersek uygun bir üçgen çizerek oluşturulacak Trigonometrik oran ile olacaktır ikisini de yazalım;

$1.Trigonometrik$ $Oran$ $=$

Çok daha spesifik bir yol zannımca yani cebirden daha spesifik; her neyse devam edersek 

$cos\alpha$ $=$ $\dfrac{-3}{5}$ burada çizeceğimiz üçgen bilindik bir özel üçgen olacaktır,

buna göre üçgeni çizelim elbette $"-"$'li bir değer alamayız (Neden?) çizime geçelim her daim $cos\alpha$ $=$ $\dfrac{komşu}{hip.}$ olduğunu biliyoruz buna göre bizim değerimizde hipotenüs $5$'tir ve şansa bakın ki komşu uzunluk da $3$ burada yapılacak tek şey karşıyı bulmak buradan da ilkokuldan beri öğrendiğimiz $3-4-5$ üçgeni çıkıyor görmek kolaydır. Buradan da sinüsün karşının hipotenüse oranı olduğunu bilip $sin\alpha$ $=$ $\dfrac{4}{5}$ yazarız.

 Son işlem ise yerine koymaktır, basit. 

$\dfrac{1-cos\alpha}{sin\alpha}$ $=$ $\dfrac{1-(\dfrac{-3}{5})}{\dfrac{4}{5}}$ $=$ $2$ olur cevap böylece sonlanır.

$2.Cebirsel$ $Yol$ $=$

Bu yol çok daha basit olduğu için okuyucuya bırakıyorum.