Question

$abcd5$ sayısının $18$ ile bölümünden kalan $xy$ iki basamaklı sayısı ise $xy$ nin alabileceği değerler  nelerdir?

Şimdi diyebiliriz ki $y$ tek olacak çünkü $abcd5$ sayısının birler basamağı tek. Seçenekler $11,13,15,17,19$ olacak. Lakin $abcd5-xy$ sayısının $9$a tam bölünebilmesini nasıl kullanacağımızı çözemedim. Nasıl çözebiliriz?

Comments

kalan 19 olamaz.

---

Doğru, gözümden kaçmış. Nasıl devam edebiliriz?

---

$abcd5\equiv xy(mod18)\Rightarrow abcd5-xy\equiv 0(mod18)$ olduğundan fark $9$ ile tam bölünür. Ancak bu bize $xy$ 'yinin ne olduğunu verir mi?

---

$a,b,c,d$ ile ilgili net bir bilgi olmadığından ben göremiyorum.

---

$abcd5$ sayısı $2$ ile bölündüğünde $1$ kalanı verir. Bu $xy$ içinde böyle değil mi? Ayrıca da $x=1$ dir. ve $y$ tek olup $1\leq y\leq7$ değil mi?

---

Evet, bu durumda cevap $4$ gibi gözüküyor ama $9$ ile bölünebilmeyi kullanmıyoruz. 

---

Belki de farkın 9 ile tam bölünmesi bize isteneni vermiyordur.Ya da veriyorsa bunu bir başka arkadaşa bırakalım ve görelim. 

Answer 1

Ben genel yontemi verecegim. Zaten sorunun cevabini buradan gormek kolay.


Sayiyi $$abcd \cdot 10 +5$$ olarak yazalim. Sonucta $abcd$ denilen $$1000,1001,\cdots,9999$$ sayilarindan biri olabilir. Peki bu sayilarin $18$ ile bolumunden kalan ne olur? $$10,11,12,\cdots,17,0,1,2,\cdots$$ olarak gider. Cok onemli degil. Onemli olan $$0,1,2,3,\cdots,17$$ olarak tum kalanlari verir. Bunlari $10$ ile carpip $5$ ekleyecegiz ve de $18$ ile kalanina bakacagiz. $$5,15,7,17,9,1,11,3, 13,5,15,7,17,9,1,11,3, 13$$ olarak gider. 


Burada moduler aritmetik bilgisi onemli. $(10,18)=2$ oldugundan $10k \mod 18$ sadece cift kalanlari icerir ve $$10k+5 \mod 18$$ sadece tekleri icerir.

Genel olarak tum kalanlari elde ediyorsan  $$ak+b \mod n$$ icin elde edilecek kalan sayisi $$\frac{n}{(n,a)}$$ olur. Burada $(n,a)$ denilen $a$ ile $n$ tam sayilarin en buyuk ortak boleni olur.

Eger bize bir sinirlama verirse sayi $(a,n)$ birimlik arttigindan o sayiya kadar kac tane var, hemen bulabiliriz.