Koninin hacmi neden $\pi r^2h/2$ değil?

Question

Şekildeki taralı iki üçgenin alanı eşit bu yüzden onları 360 derece döndürdüğümüzde oluşacak şekil koni ve silindirin kısmı neden eşit hacme sahip değil

Comments

Neden esit olsun? Mesela o ucgeni dondurme ekseninden biraz daha uzaga gotur. Hacim artar degil mi? 

Soyle bir sey yapabilirsin. Bir kare al, dondurme eksenine paralel bir cizgi ile ikiye bol ve cevir. Hacimler yine esit olmaz.

---

Döndürme ekseninden uzağa götürdüğünde ikisininde götürürsün bir şey değişmez ki anlamadım

---

Iki ucgen var ve farkli pozisyonlardalar. Pozisyonu daha da degistirirsek ne olacagini soyledin. 

Sadece bu soru uzerine odaklanalim o zaman. Dondurme eksenine paralel cizgiler alalim, ucgenlerin uzerinden. Bitisik olan ucgenin uzun cizgileri dondurme eksenine yakinken digerinin uzun cizgileri daha uzakta. Bu esit olmamalari icin bir sebep. 

---

Bunu baska sekilde gormek icin diger ucgeni silindirin kosesinden dondur. Yine bir koni olusur. Yarisini birakip yarisini silindirin diger kismina tasi. Silindirde daha da bosluk kalir.

---

Evet doğru ama hala pek de oturmadı kafamda teşekkür ederim

Answer 1

Pappus un bir Teoremi şunu der:

Bir düzlem bölgesi bir doğru etrafında döndüğünde oluşan cismin hacmi Bölgenin alanı ile bölgenin ağırlık merkezinin (dönme sırasında) aldığı yolun çarpımına eşittir.

Bu şekilde üçgenlerin alanı eşit ama üçgenlerden birinin ağırlık merkezi dönme eksenine daha uzak. 

O nedenle dönel cisimlerin hacmi eşit olmuyor.

Comments

Başka bir açıdan:

Her iki üçgeni de (sonsuz çoklukta) yatay çizgiden oluşmuş olarak düşünelim.

Sağdaki üçgeni yukarı/aşağı ters çevirelim. Şimdi aynı uzunluktaki çizgiler aynı yükseklikte olur. 

Dönel cismin hacmi değişmez.

Bunlardan eşit uzunlukta olanların dönmesi ile oluşan alanları karşılaştıralım.

Soldaki üçgendeki $L$ uzunluğundaki yatay çizgi döndüğünde $\pi L^2$ alanlı bir daire oluşturacaktır. Sağdaki üçgendeki $L$ uzunluğundaki çizgi döndürüldüğünde $\pi((a+L)^2-a^2)=\pi(L^2+aL)$ (daha büyük) alanlı bir halka  oluşturur. ($a$: o çizginin dönme eksenine uzaklığı)

Şimdi cisimlerin aynı yatay düzlem ile kesitleri (en alt ve en üstte eşit, diğerlerinde) biri diğerinden daima daha büyüktür.

Bu nedenle, sağdaki üçgenin dönmesi ile daha büyük bir hacim oluşur.