Question

$e+\pi$   ve   $e.\pi$    sayılarından  en birinin  transendental (aşkın)  olduğunu gösterebilir misiniz?

Bu soru ile ilgili

Answer 1

Buradaki cevapta vermis oldugum kestirmenin benzeri burada da kullanilabilir.

Eger ikisi de cebirsel olsayi $$(\pi+e)^2-4e\pi$$ ve dolayisi ile de $\pi-e$ cebirsel olurdu. Bu da bize $$\frac{1}{2}\left[(\pi+e)+(\pi-e)\right]=\pi$$ degerinin de cebirsel olmasi gerektigini verirdi. Bu sekilde celiski elde ederiz.

Comments

Salih Hoca çözümünde "rasyonel katsayılı polinomların kökleri de cebirseldir"  teoremini kullanıyor ve bunlardan en az biri irasyoneldir diyor; bu bir çok kaynakta böyle geçiyor. Fakat biliyoruz ki  bunlardan en az biri cebirsel değil. O zaman şunu diyebilir miyiz?: " Katsayıları cebirsel olan polinomun kökleri de cebirseldir". Buna göre Salih Hoca'nın çözümü bu sayılardan en birinin aşkın olduğunu da söyler. 

---

Aşkın sayılarla ilgili bir yazı: http://geomania.org/forum/index.php?topic=683.0

---

Katsayıları cebirsel olan polinomların kökleri de cebirseldir. Çünkü cebirsel sayılar cebirsel kapalı bir cisim.

---

Pekiyi  $a^2$   sayısı  cebirsel  iken  $a$   nın cebirsel olduğunu nasıl söyleriz?

---

$c$ herhangi bir cebirsel sayı ise, cebirsel sayıların cebirsel kapalı olduğunu kullanırsak $x^2-c$ polinomunun bir kökü olmak zorunda. Yani cebirsel sayıların karekökü de cebirseldir. Mesela $a^2$ cebirsel ise $x^2-a^2$ polinomunun katsayıları cebirsel, fakat bu polinom $(x-a)(x+a)$'ya eşit. Demek ki ya $a$ ya da $-a$ cebirsel. Demek ki $a$ cebirsel.

---

Tanim olarak da soyle soyleyebiliriz: $a^2$'yi sifirlayan polinom $P(x)$  olsun. Bu durumda $P(a^2)=0$ olur. Eger $Q(x)=P(x^2)$ olacak sekilde $Q$ polinomuna bakarsak $Q(a)=P(a^2)=0$ olur. 

---

MD-2007-IV sayisinda (syf 35) soyle bir kanit var:" Rasyonel katsayili bir polinomu saglamayan sayilara askin sayilar denir. Madem ki $e$  ve   $\pi$ cebirsel degiller o zaman $e+\pi$   ve   $e.\pi$   sayilarinin her ikisi birden cebirsel olamazlar, yoksa hem $e$  hem de  $\pi$   $x^2-(e+\pi)x+e\pi=0$   denklemini saglardi ve her ikisi birden cebirsel olurdu. Tabii bu akil yurutme $e+\pi$  ya da  $e\pi$  sayilarindan hangisinin askin oldugunu soylemiyor". 

Simdi boyle bir kanit bu haliyle bu sayilardan en az birinin irrasyonel oldugunu soyler, cunku rasyonel katsayili bir polinomun koklerinin cebirsel oldugunu biliyoruz, fakat $e$  ile  $\pi$  cebirsel olmadigindan katsayilar rasyonel olamazlar yani irrasyoneller. Yani burada $e+\pi$   ve  $e\pi$  katsayilarini rasyonel varsayip celiskiye dustuk. O zaman once " Cebirsel katsayili olan bir polinomun kokleri de cebirseldir" onermesini soyleyip sonra ayni kaniti vermeliyiz. Yaniliyor muyum?

---

Zaten oyle yapmamislar mi? @Riemann'in ve senin son cumlende dedigini kullanarak...

Tabii burada cebirsel elemanlarin olusturdugu kumenin bir cisim hatta cebirsel kapali bir cisim oldugunu gostermemiz gerekiyor. Buradaki cevaba gore daha yukaridan araclar kullaniliyor diyebilirim.