Cevâbım özellikle geometrik olacak. Öncelikle şu basit hâl için torusun (halka değil!) hacmini bulunuz:
Yarıçapı $R$, ve merkezden uzaklığı a olan bir dâire, $x$ ekseni üzerinde yatsın; yâni denklemi: $$(x-a)^2+z^2=R^2$$ olsun. Bu dâireyi $z$ ekseni etrafında döndürün ve oluşan cismin hacmini hesaplayın. Sonuç: $(\pi R^2)(2\pi a)$. Bunu kendiniz muhakkak türetiniz. (Bunun için meselâ diskler metodunu kullanabilirsiniz. Oluşan torusu $z$ ekseninden dilimlere ayırıp herbir içi boş silindirin hacmini, diskin $z$ ekseninden yüksekliğinin bir fonksiyonu olarak bulup bu ifâdeyi $[-R, +R]$ aralığında integre edin.Aşağıdaki şekil yardımcı olabilir)
Şimdi amacımız verilen problemin geometrisini buna benzetmek; ya da verilen problemden, yukarıda türetilen ifâdeyi uygulayabileceğimiz parametreleri elde etmek.
Daha açık söylersek, dâirenin merkezi ile dönme ekseni arasındaki mesâfe ve dâirenin yarıçapını belirlemeliyiz. İkinci mâlûm: $R=\sqrt 2.$
$a$'yı bulmak da kolay! Bunun için $z=-x$ doğrusuna dik olan ve dâirenin merkezinden geçen doğrunun denklemini bulalım (Bu ve ileriki aşamalarda çizim yapmanız tavsiye olunur!) Bu doğru $z=-x$ doğrusuna dik olacağından, $$z=x+C$$ formunda olacaktır (eğimler çarpımı $-1$). Bu doğru $(2,1)$ noktasından da geçiyor. O hâlde $C=-1$ bulunur: $$z=x-1$$ Eldeki iki doğrunun kesişme noktasıyla dâire merkez noktası arasındaki mesâfe aradığımız $a$ mesâfesidir.
Doğruların kesişim noktası $(1/2,-1/2)$'dir. Son olarak, $(2,1)$ ve $(1/2,-1/2)$ noktaları arasındaki mesâfeyi hesaplayalım: $a=\sqrt{(3/2)^2+(3/2)^2}=3/\sqrt 2$ bulunur. Bunları en başta sizin türettiğinizi varsaydığımız hacim ifâdesine koyarsak: $$V=(\pi 2)(2\pi 3/\sqrt 2)=6\sqrt 2\pi^2$$