Öncellikle genel olarak Taylor serisi herhangi iki K-Banach uzayı X,Y, açık U⊆X ve a∈U'da türevlenebilir olan f:U→Y için (burada K=R veya K=C):
f(x)=∞∑k=01k!(Dkf)(a)[x] olarak tanımlanır
((Df)(a)[x]= f'in a noktasındaki türev fonksiyonunu x noktasında değerlendirmek),
biz bunu daha çok şöyle yazıyoruz: f(x)=∞∑k=0bk(x−a)k,bk=f(k)(a)k! (f′(a)=(Df)(a) aslında bir fonksiyon, ancak belli bir x noktasında Y'de bir değer alacak).
Şimdi sorunuza gelelim: Hayır, bir Taylor serisine açılamayan gerçel değerli fonksiyonlar da (hatta sonsuz kere türevlenebilir olmalarına rağmen) vardır:
örn. f:]0,∞[→]0,∞[,x↦1x için f(k)(x)=(−1)kk!xk+1
ve a noktasındaki açılımını yazmaya çalıştığımız seri ∞∑k=0(−1)kxkak+1 örn. a=x=1 noktasında yakınsamaz.
Karmaşık değerli fonksiyonlar için: Eğer f a'nın etrafında holomorf bir fonksiyonsa Bd(c) topu içerisinde aşağıdaki gibi bir Taylor serisi açılımı vardır. (Bd(a) burada a noktası etrafındaki d yarıçaplı topu kasteder.)
f(x)=∞∑k=0bk(x−a)k, bk=12πi∫∂Bf(ζ)dζ(ζ−a)k+1
B:=Br(a),0<r<d.
Daha fazla bilgi için (mesela türevi alınamayan fonksiyonların olduğu durumlarda) Taylor (Analiz) ve Cauchy-Taylor (Karmaşık analiz) açılım teoremlerini inceleyebilirsiniz.