Processing math: 100%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
1.4k kez görüntülendi

bütün gerçel değerli fonksiyonlar taylor serisine açılabilir mi ? karmaşık sayılar açılabilir mi ? burdan yola çıkılarak aradaki fark nedir ?

Lisans Matematik kategorisinde (19 puan) tarafından  | 1.4k kez görüntülendi

güzel soru, soracaktım siz sormuşsunuz:)

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Öncellikle genel olarak Taylor serisi herhangi iki K-Banach uzayı X,Y, açık UX ve aU'da türevlenebilir olan f:UY  için (burada K=R veya K=C):

f(x)=k=01k!(Dkf)(a)[x]  olarak tanımlanır

((Df)(a)[x]= f'in a noktasındaki türev fonksiyonunu x noktasında değerlendirmek),

 biz bunu daha çok şöyle yazıyoruz: f(x)=k=0bk(xa)k,bk=f(k)(a)k! (f(a)=(Df)(a) aslında bir fonksiyon, ancak belli bir x noktasında Y'de bir değer alacak). 

Şimdi sorunuza gelelim: Hayır, bir Taylor serisine açılamayan gerçel değerli fonksiyonlar da (hatta sonsuz kere türevlenebilir olmalarına rağmen) vardır: 

örn. f:]0,[]0,[,x1x için f(k)(x)=(1)kk!xk+1

ve a noktasındaki açılımını yazmaya çalıştığımız seri k=0(1)kxkak+1 örn. a=x=1 noktasında yakınsamaz.

Karmaşık değerli fonksiyonlar için: Eğer f a'nın etrafında holomorf bir fonksiyonsa Bd(c) topu içerisinde aşağıdaki gibi bir Taylor serisi açılımı vardır. (Bd(a) burada a noktası etrafındaki d yarıçaplı topu kasteder.)

f(x)=k=0bk(xa)k, bk=12πiBf(ζ)dζ(ζa)k+1

B:=Br(a),0<r<d.

Daha fazla bilgi için (mesela türevi alınamayan fonksiyonların olduğu durumlarda)  Taylor (Analiz) ve Cauchy-Taylor (Karmaşık analiz) açılım teoremlerini inceleyebilirsiniz.


(1.2k puan) tarafından 

çok iyi bir cevap olmuş .

20,322 soru
21,883 cevap
73,601 yorum
2,949,463 kullanıcı