Aşağıdaki iki önermenin ispatı size bırakılmıştır:
Önerme 1: $M$'nin sonsuz sayıda elemanı varsa, $M$ ayrık kümelerden oluşan sayılabilir sonsuz bir altkümeye sahiptir. Yani $\exists \{A_k:k\in\mathbb{N}\}\subseteq M$ öyle ki $k\neq j \Rightarrow A_k\cap A_j=\emptyset$.
Hatırlatma: $G$ kümesi, $X$'in altkümelerinin bir kümesi olsun. $G$'yi içeren en küçük $\sigma$-cebire, $G$'nin ürettiği $\sigma$-cebir denir.
Önerme 2: $\{A_k\in M:k\in\mathbb{N}\}$ ayrık kümelerden oluşsun ve ürettiği $\sigma$-cebiri $\mathcal{A}$ ile gösterelim. $\Phi:2^{\mathbb{N}}\to\mathcal{A}$, $$\Phi(F) = \bigcup_{n\in F} A_n$$ ile tanımlanan fonksiyon birebirdir.
Teorem: $M$ sonsuz elemanlı bir $\sigma$-cebir ise $card(M) \geq card(\mathbb{R})$.
İspat: Önerme 1 bize ayrık kümelerden oluşan bir $\{A_k\in M:k\in\mathbb{N}\}$ verir. Bunun ürettiği $\sigma$-cebir (yukarıdaki gibi) $\mathcal{A}$ olsun. $\mathcal{A}\subseteq M$ olduğu için $card(\mathcal{A})\leq card(M)$.
İkincisi, Önerme 2'den $card(2^{\mathbb{N}})\leq card(\mathcal{A})$ elde edilir.
Hepsi beraberce $card(\mathbb{R}) = card(2^{\mathbb{N}})\leq card(\mathcal{A})\leq card(M)$.