$4x^2-6x+k=0$ denkleminin kökler çarpımının en büyük değeri...

Question

$4x^2-6x+k=0$     denkleminin kökleri çarpımının en büyük değeri kaçtır?

Benim bu soruya yorumum $\dfrac{c}{a}=\dfrac{k}{4}$ oluyor.

Şimdiden Teşekkürler
 

Cevap:$\dfrac{9}{4}$

Comments

<p> Benim bu soruya yorumum c/a=k/4 oluyor.
</p>

Answer 1

Cevap icin denklemin koklerinin gercel sayi olabilecegini kabul ediyorum.

Kokler toplami $$x_1+x_2=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$$ olur.

Koklerin
- ya ikisi de pozitif olmali
-ya da biri negatif biri pozitif olmali.

Eger biri negatif biri pozitif olursa bu durumda carpimlari negatif olur. Biz carpimin en buyuk degerini bulmak istedigimizden ikisininde pozitif oldugu zamanla ilgilenmemiz yeterli. 

$x_1$ ve $x_2$ pozitif olsun dedigimizden aritmetik ortalamanin geometrik ortaladan buyuk oldugunu kullanabiliriz: $$\frac{x_1+x_2}{2}\ge \sqrt{x_1x_2}$$ olur. Bu da bize $$x_1x_2 \le \frac{9}{16}$$ oldugunu verir.

Sorunuzun cevabi bu nedenle (bir hatam yok ise) $9/16$'dir. Lakin $k$ degerinin alabilecegi en buyuk  deger $9/4$ olur.

Comments

Sizin cevabınızı görmemişim hocam, kusura bakmayın:(

---

Daha basit bir yolu var. Onu da ekleyecektim simdi. $(x-a)^2=b$  olarak yazarsak ($b\ge 0$) kokler $$a\pm \sqrt b$$ olur ve carpimlari $$a^2-b \ge a^2$$ olur. Olay $a$'yi bulmak ki, bu da kolay.

Answer 2

$\text{Aritmetik Ortalama} \ge \text{Geometrik Ortalama}$ eşitsizliğini kullanarak ve denklemin köklerine $x_1,x_2$ diyerekten;

$$\dfrac{x_1+x_2}{2}\ge \sqrt{x_1x_2}$$  $x_1x_2=\dfrac{k}{4}$ olduğunu biliyoruz, bu durumda;

$$\left(\dfrac{3}{2}\right)^2\geq 4\cdot\dfrac{k}{4} \Rightarrow \dfrac{9}{4}\geq k$$  

Yani $k$'nın alabileceği en büyük değer $\dfrac{9}{4}$'tür. $$\dfrac{k}{4}=\dfrac{9}{16}$$ ...