(Böyle bir fonksiyonun varlığı kabul edilirse, $y=f(x)$ olmak üzere)
$xy^3-y^2+y-1=0$ olur. $x=\frac{y^2-y+1}{y^3}$ olarak çözüldüğüne göre
$f^{-1}(x)=\frac{x^2-x+1}{x^3}$ olmalıdır. Buradan $f^{-1}(1)=1$ bulunur. (bu zaten bulunmuştu)
Böyle bir fonksiyonun varlığını şöyle gösterebiliriz:
$g(x)=\frac{x^2-x+1}{x^3}$ olsun. $g'(x)=-\frac{x^2-2x+3}{x^4}=-\frac{(x-1)^2+2}{x^4}$ olur
Bu fonksiyonun (1 i içeren) $(0,+\infty)$ aralığındaki türevi negatif olduğu için, bu aralıkta $g$ birebirdir. $\displaystyle\lim_{x\to0^+}g(x)=+\infty$ ve $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)=0$ olduğu için $g$ nin görüntü kümesi $(0,+\infty)$ dir.
Öyleyse $g$ nin $(0,+\infty)$ aralığında tanımlı bir ters fonksiyonu vardır. O da aranan $f$ fonksiyonu olacaktır.
(Ek: 3. derece denklemi çözerek de $f$ yi bulabiliriz ama o formülden birebir olduğu aralığı bulmanın kolay olacağını sanmıyorum)