Bir ABC üçgeninde iç teğet çember BC, CA, AB kenarlarına sırasıyla D, E ,F noktalarında teğettir. EF doğrusu (CB ışınını P noktasında kesiyor. Buna göre BD =1 CD=3 PF= kök 5 İSE CA uzaklığı kaçtır?

Question

Merhabalar, yeni olduğum için bu bölümde yazdıklarım soruyu denerken hangi yöntemlere başvurduğumu ifade etmek için yeterli olmayabilir ama yine de açıklamaya çalışacağım. Şekli çizdim $F$ noktasından $D$ noktasına bir kenar çizdim Teğetlik özelliklerinden $|EC|$ ve $|CD|$ deki uzunlukları eşitledim (3) aynısını $|BF|$ ve $|BD|$ için de yaptım (1) $|FA|$ ve $|AE|$ ye ise bilinmeyen yani $x$ i eşitledim sorunun cevabı $x +3$ ten çıkar. Çemberin kuvvet özelliklerinden (a+1) üssü 2 yi kök 5 çarpı parantez içerisinde kök 5 + y ye eşitledim (harf verdim y olarak FE ye), bir tane daha denklem bulmak gerekiyor galiba ama onu bulamadım.

Comments

soru ile yapılan işlemleri benzetemedim..kontrol edermisiniz

---

Şekli çizdikten sonra  $IPBI=a $  diyelim. $Menelaus $ teoremi uygularsak çözüm kolaylaşır. 

---

Teşekkürler hocam :)aklıma gelmemişti. Oradan çıkarabildim soruyu galiba.

---

menelaus teoremi müfredattan kaldırıldı diye biliyorum hocam.

---

Bu olimpiyat sorusu hocam:)

---

Menelaus teoremi kaldırıldı diye bakmak yanlış bence.Müfredattan kaldırılan üçgende kesen teoremleri başlığı.Yani bir başlık altında anlatılmıyor.Fakat dikkatli gözle bakarsanız bu kesen teoremlerinden menelaus, ceva ve von abel teoremleri üçgende benzerlik kullanılarak rahatlıkla ulaşılabilen sonuçlardır.Yani üçgenlerin eşliği ve benzerliği konusu zaten bu teoremleri isim vermeden anlatmış oluyor. :-)

Denemenizi tavsiye ederim.

Kolay gelsin

Answer 1

$ABC$ üçgeni çizildikten sonra $|PB|=a,|AE|=x,|FE|=y$ değerlerini verelim, çemberin teğet olması durumlarından $|BD|=|BF|=1$, $|DC|=|CE|=3$ ve $|AE|=|AF|=x$ olur. $|PB|$'den başlayarak Menelaus uygulayalım: $$\dfrac{|PB|}{|PC|}\cdot\dfrac{|CE|}{|AC|}\cdot\dfrac{|AF|}{|FB|}=1\Rightarrow\dfrac{a}{a+4}\cdot\dfrac{3}{x}\cdot\dfrac{x}{1}=1\Rightarrow a=2....(1)$$ İkinci Menelaus'u uygulamadan önce $|PD|$ ve $|PF|$'de kuvvet uygulayalım: $$|PD|^2=|PF|\cdot|PE|\Rightarrow (a+1)^2=\sqrt{5}(\sqrt{5}+y)\Rightarrow y=\dfrac{4}{\sqrt{5}}....(2)$$ Artık $x$'i bulmak için $|AE|$'den başlayarak Menelaus uygulayabiliriz: $$\dfrac{|AE|}{|AC|}\cdot\dfrac{|CD|}{|PD|}\cdot\dfrac{|PF|}{|PE|}=1\Rightarrow \dfrac{x}{x+3}\cdot\dfrac{4}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{5}}{\frac{4}{\sqrt{5}}}=1\Rightarrow x=2\Rightarrow x+3=5$$ elde edilir.