Question

kategori teorisindeki limit analizdeki limite ne zaman karşılık gelir,arasındaki ilişki nedir??

Answer 1

Bu soruyu direk limit, ters limit nedir sorusunu sorarken düşünmüştüm. Aslında sorarken akşımda buradaki benzerlik vardı. O sorunun altında yanıt olarak Ali Nesin'in ders notlarının linki verilmiş. Direk ve ters limit kavramlarının ne olduğunu öğrenmek için güzel bir kaynak.  Ben de burada analizdeki limitle ne biçimde ilişki kurulabileceğine dair bir iki kelam edeyim. Yanıtım çok fazla laf, çok az matematik içerecek.

Direk limit konseptini ele alalım. Limit tanımının anlamlı olması için önce dizi nedir, onu tanımlamalıyız. Analizdeki dizi tanımı basit. Doğal sayılardan reel sayılara giden bir fonksiyon. Fonksiyonun $n$'deki değerine genelde $x_n$ deriz. Direk limitten (diyelim ki grupların direk limitinden) söz edebilmemiz için bir anlamda bir dizi tarifimiz olması gerekir. Diyelim ki elimizde parçalı sıralı bir $J$ kümesi olsun (Analizdeki dizi tanımımızdaki parçalı sıralı küme $\mathbb{N}$ ve parçalı sıralı olmanın yanısıra, doğrusal sıralı bir küme. Ama daha genel olarak ağ (net) tanımı ve ağların yakınsaması kavramları gözönünde bulundurulursa direk limit tanımındaki genelliğin gereksiz bir genellik olmadığı görülebilir). İlk akla gelen tanım, dizi tanımımızdaki gibi şu olabilir: $J$ kümesinden (ki bu aslında sıralama ilişkisiyle beraber bir kategoride oluşturur, $\hom(i,j)$ kümesi eğer $i\leq j$ ise tek elemanlı diğer bütün durumlarda boş küme) gruplar kategorisi $\mathcal{G}$ kümesine giden bir fonksiyona gruplar dizisi diyebiliriz. Ancak burada şöyle bir sorun var (ya da eksiklik). Analizdeki dizilerimizin görüntüleri reel sayılar ve reel sayılar dizimizin elemanlarını kavrıyor, dizimizin elemanlarının birbirlerinden haberdar olmasını sağlıyor ve aslında dizinin elemanlarının birbirinden habersiz olmaması bir limitten söz edilebilmesini sağlıyor. Bu eksikliği gidermek için grupların birbirinden haberdar olması gerek. Gruplar birbirinden nasıl haberdar olur. Aralarında tanımlanmış bir homomorfizma iki grubu birbirinden haberdar eder (Bu sözünü ettiğim matematiksel olmayan tanıma kavramının en güzel örneği topoloji'deki Seifert- Van Kampen teoremidir. Ya da grupların amalgamated toplamı -ki o da bir direk limit inşasıdır.) O halde grupları birbirine tanıtmalıyız. Bu durumda grupların dizisi, ya da genel deyişe gruplar direk sistemi şu demektir:

Tanım: Gruplar direk sistemi şu bilgilerden oluşur:

1. Parçalı sıralı bir $J$ kümesi ve $J$ kümesinin elemanlarıyla numaralandırılmış gruplar: $\{G_j\}_{j\in J}$;
2. Her $i\leq j$ için bir $\sigma^j_i:G_i\longrightarrow G_j$ grup homomorfizması.

Grup homomorfizmalarından fazladan bir uyumluluk özelliğini sağlamaları da beklenmektedir: Eğer $i\leq j\leq k$ ise $$\sigma^k_j\circ \sigma^j_i=\sigma^k_i$$ eşitliği saplanmalı.

Artık bir dizimiz var. Peki limit ne demek, bu dizinin limiti denildiğinde ne anlamalıyız? Herhalde bir grup olmalı. Bu dizinin "sonundaki grup" olabilecek bir grup! Amiyane tabirle, sonsuzdaki (ne demekse) grup. Daha güzel deyişle, bütün gruplardan sonra olacak grup. E tabi bu grupların bu yeni grubu tanıması da gerekiyor. Yani, gruplarımızdan limit diyeceğimiz gruba homomorfizma olmalı. O halde limit grup, bir grupla beraber dizinin elemanların o gruba homomorfizmalar olmalı: $$\sigma_j:G_j\longrightarrow G$$ Gruplarımız birbirini tanıyorlar ve $\sigma_j$'ler aracılığıyla $G$ ile tanışıyorlar. Ancak $G_i$'nin bilgisi $G_j$'de de bulunuyor $\sigma^j_i$ homomorfizması sayesinde. O halde $G_j$ grubu kendisini $\sigma_j$ ile tanıtırken bir anlamda $G_i$ grubunu da $G$'ye tanıtıyor. Burada $G_i$ ile ilgili $G$'ye farklı iki kaynaktan aktarılan bilgilerin uyumlu olmasını bekleriz elbette. Yani $\sigma_j$'lerden şu uyumluluk şartını sağlamalarını bekliyoruz $(G,\{\sigma_j\}_{j\in J})$ ailesinin limit olması için: $$\sigma_j\circ\sigma^j_i=\sigma_i$$ Yani direk sistem, bir bilgiler silsilesi ve limit denilen şey de limit bilgi. Limit bilgi deyince akla, bu bilgilerin derlenip toplanması geliyor ki, bu tarz bir bilgi için ister istemez şu sınırlama da gerekli: Fazladan bilgi olmamalı. Evet, yukarıdaki $G$ grubunda $\sigma_j$'ler sağolsun $G_j$ gruplarının bilgileri mevcut. Ama fazlasını da istemiyoruz. Bu şu demek, $G$ grubunda fazladan bilgi olmasın. Bunu matematiksel(!!) olarak nasıl söyleriz? $G$ grubuyla ilgili nasıl bir şart koyarsak bu fazladan bilgi olmasın isteğimizi anlatmış oluruz? Şu yerinde bir söylem olabilir: $G_j$ gruplarını tanımak, $G$'yi tanımak için de yeterli olmalı. Bu, $G$'de $G_j$'lerin bilgisinden fazlasının olmaması anlamına gelecektir. O halde  $(G,\{\sigma_j\}_{j\in J})$ ailesinin limit olması için şu özelliğin de sağlanmasını bekleceğiz: Başka bir grup $G_j$'leri tanıyorsa $G$ grubunu da tanısın. Matematikçesiyle  $(G,\{\sigma_j\}_{j\in J})$ ailesi şu özelliği sağlar: Eğer $\beta_j:G_j:\longrightarrow H$ grup homomorfizmaları $i\leq j$ için $\beta_j\circ \sigma^j_i=\beta_i$ şartını sağlıyorsa $G$ grubundan da $H$ grubuna $$\beta\circ \sigma_j=\beta_j$$ eşitliğini sağlayan $\beta:G\longrightarrow H$ homomorfizması vardır.

Bu arada, bu dizilerin bulundupunuz dünyada her zaman limiti olacak diye bir şey yoktur. En basitinden sonlu grupların limiti sonsuz bir grup olabilir ve sonlu gruplar kategorisinde sizin elinizdeki sistemin limiti yok demektir.

Şimdi tanımı şu ya da bu biçimde verdik. Peki analizde limit tanımıyla başka benzerlikler var mı? Analizdeki limit tanımının formal özelliklerine bakalım. Şunlar limitle ilgili ispatlaması basit özellikler:

1. Dizi durağan ise (bir yerden sonra hep aynı eleman tekrarlanıyorsa) dizinin limit vardır ve tekrarlanan eleman limite eşittir.
2. Dizinin limiti varsa, her alt dizisinin de limiti vardır ve alt dizilerin limitleri dizinin limitine eşittir.

Bu özellikler, uygun tanımlarla direk limit için de doğrudur (konuyla ilgili aşağı yukarı bütün kaynaklarda bu özellikler ispatlanmak üzere alıştırma olarak bırakılır. Demem o ki ben de ispatlamayacağım). Dizinin durağan olması şu demek: Bir yerden sonra gelen bilgi hep aynı olmalı. Yani her $i$ için öyle bir $N_i$ olmalı ki, $j\geq k\geq N_i$ ise $G_j=G_k$ olmalı ve $\sigma^j_k=id$ olmalı. Böyle bir direk sistemin limiti $G_{N_i}$ grubuna eşittir ($\sigma_j$ ne olmalı?). Alt dizi tanımını da üşenmeyip bu yazıyı okuyan birisi varsa üzerinden düşünmeli. Yorum yazarak sınayabilirsiniz de kendinizi.

Comments

Sonlu grubun limitinin sonsuz grup olduğu örneğiniz var mı?

---

Yerel sonlu grupların hepsi buna bir örnektir. Özel olarak Prüfer $p$-grubu $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ gruplarının direk limitidir.

---

Uzun yanıt anlamlı mı?

---

Anlamlı tabi. Bence bir sıkıntı yok. Örneği incelemem Lazım. 

---

$n\leq m$ ise $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ grubu $\mathbb{Z}/p^m\mathbb{Z}$ içindeki $p^{m-n}\mathbb{Z}/p^m\mathbb{Z}$ grubuyla özdeşleştiriliyor. $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ içinde de düşünülebilir. Prüfer $p$-grubu $G_n$ ($\frac{1}{p^n}$ elemanının ürettiği altgrup) gruplarının birleşimi.

---

Teşekkür ediyorum. 

---

Rica ediyorum :)

---

Bu arada aktif kullanıcı sercan arada evlenmiş. mutluluklar diliyorum. 

---

Bende diyorum Sercan bey nerede? Mutluluklar diliyorum. Artık birinciliği sana kaptırır Şafak.

---

Aramızda iki bin puan var serdarla. İki çocuğunu ilkokula başlatana kadar siteye yazmaya ara verirse anca yakalarım.

---

Bence bir ayda yakalarsın. Ben 500 soru sorarım sende anında cevap:)

---

çok teşekkür ederim. Fakat bunu küçük kategorilere nasıl uygulayabilirim örneğin bir kümelerde bir örnek verebilir misiniz?

---

Selam gençler. :)     

---

Hoşgeldin Sercan. Tebrik ediyoruz. 

---

Teşekkür ederim, darısı bekarların ve evlenmek isteyenlerin başına. (İstemeyen örneği burda mevcut.)

Üşenmedim okudum, survivor konseptinde bir anlatım omuş ama çok da güzel olmuş. Yine faydalandım.

---

survivor konsepti ne demek? geyik anlamında mı? evet biraz geyik bir anlatım ama böyle bir soruyu geyik yapmadan yanıtlayabilecek bilgiye sahip olmadığım için ister istemez geyik yaptım.

---

Evet, çok geyik anlatmışsın :) ama o anlamda demedim. Oy kutusunu alıyorum, bakayım aldım mı, evet almışım, oy kutusunu getiriyorum, evet getiriyorum, getirdim, birazdan açacagım, ... gibi.

---

anlamadığım bir yere gönderme yaptığına dair kuvvetli bir sanım oluştu.