Paskal özdeşliğini ispatlayınız.

Question

$$1\le r\le n\quad \dbinom n r=\dbinom{n-1}{r-1}+\dbinom{n-1}{r}$$

Gerekli bilgiler ilgili soruda var ve

başka ilgili bir soru daha;

http://matkafasi.com/100405/serinin-esitligi-ispatim-gosterilir-dbinom-displaystyle

Answer 1

$n-1\choose r-1$ + $n-1\choose r$ ifadesini açarsak

$\dfrac {\left( n-1\right) !} {\left( n-r\right) !\left( r-1\right) !} + \dfrac {\left( n-1\right) !} {\left( n-r-1\right) !\left( r\right) !}$

$\dfrac {\left( n-1\right) !} {\left( n-r-1\right) !\left( r-1\right) !}\left( \dfrac {1} {n-r}+\dfrac {1} {r}\right)$

$\dfrac {\left( n-1\right) !} {\left( n-r-1\right) !\left( r-1\right) !}.\dfrac {n} {\left( n-r\right) r}$

olup

$\dfrac {\left( n\right) !} {\left( n-r\right) !\left( r\right) !}$ = $n\choose r$

olacaktır.

Comments

Aynı şekilde güzel :-) ben hala kurbağa gibi kod yazıyorum :-)

---

Güzel cevap :)   

Answer 2

$\binom{n-1}{r-1}+\binom{n-1}{r}=\dfrac{(n-1)!}{(n-r)!.(r-1)!}+\dfrac{(n-1)!}{(n-1-r)!.r!}$

$\dfrac{(n-1)!}{(n-r)!.(r-1)!}+\dfrac{(n-1)!}{(n-1-r)!.r!}.\left(\dfrac{1}{n-r}+\dfrac{1}{r}\right)$

$\dfrac{(n-1)!}{(n-r)!.(r-1)!}+\dfrac{(n-1)!}{(n-1-r)!.r!}.\dfrac{n}{(n-r).r}$

$\dfrac{n!}{(n-r)!.r!}=\binom{n}{r}$

Comments

mesela $(\dfrac{1}{n-r}+\dfrac{1}{r})$ burada tam kapatmadı,

\left(  \right) diye parantezi yaparsak şöyle oluyor;

$\left(\dfrac{1}{n-r}+\dfrac{1}{r}\right)$

Bu arada güzel cevap :) 

---

bu kısım anlaşıldı hocam ok.Düzelttim

---

$(x+1)^n=(x+1)^{n-1}(x+1)$ özdeşliğinde her iki tarafta $x^r$ nin katsayilarını karşılaştırarak da görülür

Answer 3

$$\dbinom{n}{k-1}+\dbinom{n+1}{k}=\dfrac{n!}{(n-k)!k!}+\dfrac{n!}{(n-k+1)!(k-1)!}=$$ $$=n!\left[\dfrac{n+1-k}{k!(n+1-k)!}+\dfrac{k}{k!(n+1-k)!}\right]$$ $$=\dfrac{n!(n+1)}{(n+1-k)!k!}=\dbinom{n+1}{k}\quad\Box.$$

Bu da genelleştirmesi:

$$n,k_1,k_2,...,k_i,i\in\mathbb N^+\quad\text{ve}\quad n=\displaystyle\sum_{j=1}^i k_j\tag 1$$

$$\dbinom{n-1}{k_1-1,k_2,k_3,...,k_i}+\dbinom{n-1}{k_1,k_2-1,k_3,...,k_i}+.....+\dbinom{n-1}{k_1,k_2,k_3,...,k_i-1}\tag 2$$

$$=\dfrac{(n-1)!}{(k_1-1)!k_2!k_3!...k_i!}+\dfrac{(n-1)!}{k_1!(k_2-1)!k_3!...k_i!}+...+\dfrac{(n-1)!}{k_1!k_2!k_3!...(k_i-1)!}\tag 3$$

$$=\dfrac{k_1(n-1)!+k_2(n-1)!+k_3(n-1)!+...+k_i(n-1)!}{k_1!k_2!k_3!k_4!...k_i!}\tag 4$$

$$=\dfrac{(k_1+k_2+k_3+...+k_i)(n-1)!}{k_1!k_2!k_3!k_4!...k_i!}=\dfrac{(n)(n-1)!}{k_1!k_2!k_3!k_4!...k_i!}\tag 5$$

$$=\dfrac{n!}{k_1!k_2!k_3!k_4!...k_i!}=\dbinom{n}{k_1,k_2,k_3,....,k_i}\tag 6$$

$$\text{Quod erat demonstrandum}\quad\Box.$$

Answer 4

$A,\ n$ elemanlı bir küme olsun. $\binom{n}{r},\ A$ nın $r$ elemanlı altkümlerinin sayısıdır. Bu sayıyı başka bir şekilde hesaplayalım:

$B,\ A$ nın $n-1$ elemanlı herhangi bir alt kümesi olsun.

$A$ nın $r$ elemanlı alt kümeleri, iki ayrık sınıfa şöyle ayrılabilir.

$B$  nin alt kümesi olanlar ve $B$  nin alt kümesi olmayanlar.

$B$ nin alt kümesi olanlar $\binom{n-1}{r}$ tanedir.

$B$ nin alt kümesi olmayanların  $B$ ile arakesiti $r-1$ elemanlıdır ve tümü $A\setminus B$ nin biricik elemanını içerirler. Öyleyse, onlardan $\binom{n-1}{r-1}$ tane vardır. Öyleyse:

$\binom{n}{r}=\binom{n-1}{r}+\binom{n-1}{r-1}$ olmalıdır.

Comments

Çok güzel ve değişik bir yaklaşım. Elinize ve zihninize sağlık Doğan hocam.