$f:R\to R$, $f(x) =ax^2+bx+c,\quad a\neq 0,a,b,c \in R$ olan $f$ fonksiyonunun grafiği konkavitesi $a$ 'ya göre değişen bir Paraboldur.

Question

Bu şekilde tanımlı fonksiyon grafiğinin bir parabol olduğunu, $f(x)=0$ denklemini sağlayan değerlerin reel olup olmamalarının, adına "diskriminant($\Delta$)" dediğimiz "belirleyiciye" bağlı olduğunu biliyoruz. Acaba $\Delta<0$ iken karmaşık sayı olan köklerin grafik için anlamı ve önemi nedir?

Bilindiği gibi bu fonksiyon ; $a>0$ için  $\frac 1a(y-\frac{4ac-b^2}{4a})=(x+\frac{b}{2a})^2$ olarak yazılırsa tepesi noktasi: $(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$, odağı :$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}+\frac{1}{2a})$ noktası ve doğrulmanı: $y=\frac{4ac-b^2}{4a}-\frac{1}{2a}$ doğrusu  ve parametresi $p=\frac{1}{2a}$ olan bir paraboldür.

Yaptığım incelemede karmaşık kök değerleri daima Parabolün $x=-\frac{b}{2a} $ simetri ekseni üzerinde çıkıyor. Ancak bu köklerin, doğrultman,odak yada tepe noktası ile belli bir ilişkisini yakalayamadım. Katkılar için şimdiden teşekkürler. 

Comments

Hocam bu yazdıklarınıza istinaden her bir kökü bir karmaşık sayı olarak alıp aralarındaki mesafe ile simetri ekseni ilişkisini baz alalım.Buradan yola çıkıp (kökler birbirinin simetriği zaten) 

$\mathbb{C} $ kümesinde bu mesafeyi çap kabul eden çemberler diye düşünebilir miyiz?