Bir analtik-geometrik bölgede tanımlı bir nesne, diğer analtik-geometrik bölgelerde ne anlam ifade eder?İzdüşüm fonksiyonu nasıl tanımlanıyor?

Question

Böyle bir ileri teori mevcut mu?

Hipotezim:
$3$ boyutlu uzayda bir $A$ düzlemine çember çizin, öyle bir $B$ düzlem vardır ki, $A$'daki çemberin iz düşümü, $B$'de elips veya $B$'de çizilen elips, $A$'da çember izdüşümü oluşturur.

Bu hipotezi nasıl ispatlarım?


Sav:

$n$ boyutlu uzayda bir $A$ ekseninde tanımlı $\mathcal{G}_A$  cisminin, $B$ eksenine göre eşleşmesi(iz düşümünün en genel halini izah etmeye çalıştım)  $\mathcal{I}_B$ oluyor ise;

$$\mathcal G_A\quad\Xi\to\Xi\quad \mathcal I_B$$

önermesi dogru olsun;

Aynı anda;

$$\mathcal G_B\quad\Xi\to\Xi\quad \mathcal I_A$$

Doğru olur.

Sav ile ilgili benzer ilgili ileri okumalar var mıdır? Savı hangi matematiksel yöntemlerle çürütür/ispatlarız.

Comments

Soru ile ilgili eleştirmelerinizi ve ileri okumaları şiddetle istiyor ve bekliyorum.

---

dezarg veya papussel düzlemleri bir fikir oluşturabilir mi?( kendileri değil yani ) mesela oradaki doğruların durumu 2 boyutlu veya 3 boyutlu uzaydakinden nasıl farklı oluyor mantığı işe yarar.

Projektif geometri bakmanızı tavsiye ederim hocam.

Answer 1

Bir doğruya paralel izdüşümde bu mümkün. 

$xy$-düzleminde  bir çember alalım. $xy$ düzlemine paralel olmayan ($x$ ve $y$ eksenlerine de paralel olmayan) herhangi bir düzlem alalım. (Formül istersen, $z=x+y+5$ düzlemi olabilir.)

 Çemberin $z$-eksenine  paralel izdüşümü diğer düzlemde bir elips oluşturur.

Aynı şekilde (bu) elipsin, yine $z$-eksenine paralel izdüşümü de (ilk) çember olur.

(Bu durum bir silindiri bir eksenine dik olan diğeri de dik olmayan düzlemlerle kesmenin aynısı)

Bir noktadan izdüşüm kastedilirse yine mümkün. 

Geometrik olarak: 3 boyutlu uzayda 

$x^2+y^2=z^2$ "tam koni" sini düşünelim. 

$z=-2$ düzlemi ile kesersek arakesit çember olur.

$z=x+y+5$ düzlemi ile arakesiti elips olur.

Herbir eğrinin, koordinat sisteminin başlangıç noktasından izdüşümü diğer eğridir.

Bu soru (nun daha genel şekli) Projektif geometrinin basit ama ilginç sonuçları olan bir teoremi.

Projektif Geometride tüm (dejenere olmayan) konikler (elips, parabol ve hiperbol)  eştir (denktir, )

(daha doğrusu, bu koniklerin "projektif kapanışları" eştir.)