Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
2.6k kez görüntülendi

$S_4 / V_4$ Bölüm grubunu oluşturunuz.

Lisans Matematik kategorisinde (44 puan) tarafından  | 2.6k kez görüntülendi
Hadi $S_4$ simetrik grup diyelim de, $V_4$ nedir?

Klein-4 grubu diye okumuştum kitapta.

Peki $V_4$'ü $S_4$'ün içinde nasıl görüyorsun? (Aslında bu önemli bir sorun değil, zira $S_4$'ün içinde bunlar birbirine konjuge olacaklar.) Ama daha büyük bir sorun var, $V_4$ grubu $S_4$ içinde normal değil, bu da bölüm bir grup tanımlamaz.

Klein-4'te her elemanın tersi kendisine eşit ve özdeşlikten farklı herhangi iki elemanın çarpımı üçüncü elemana eşittir. Özdeşlikten farklı her elemanı çifte transpozisyonlardır (12)(34), (13)(24) ve (14)(23) gibi. Bu nedenle V4, S4'ün içinde normaldir ve bölüm grubu oluşturulabilir.

Bölüm grubunu istiyorum. Ayrıca S3' e izomorftur bölüm grubu ama bunu gösteremedim.

Evet ya, tabii  ki normal. Bölüm $6$ elemanlı, döngüsel ve değişmeli de olmadığına göre $S_3$ olmak zorunda.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$S_{4}/V_{4}=\{(1)V_{4}, (12)V_{4}, (13)V_{4}, (23)V_{4}, (123)V_{4},(132)V_{4}\}$. Temsilcileri böyle seçtim ki-$S_{3}$' e izomorf olduğunu rahat görebilelim. $f:S_{3}\rightarrow S_{4}/V_{4}$, $f((12))=(12)V_{4}$ ve $f((123))=(123)V_{4}$ eşlemesi bir izomorfizma tanımlar.


$V_{4}=\{(1), (12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$ olmak üzere burada $(12)V_{4}=\{(12),(34),(1324),(1423)\}$ şeklindedir.

(1.5k puan) tarafından 

Teşekkürler...

20,239 soru
21,758 cevap
73,398 yorum
2,059,606 kullanıcı