Soyut Cebir / Bölüm Grupları

Question

$S_4 / V_4$ Bölüm grubunu oluşturunuz.

Comments

Hadi $S_4$ simetrik grup diyelim de, $V_4$ nedir?

---

Klein-4 grubu diye okumuştum kitapta.

---

Peki $V_4$'ü $S_4$'ün içinde nasıl görüyorsun? (Aslında bu önemli bir sorun değil, zira $S_4$'ün içinde bunlar birbirine konjuge olacaklar.) Ama daha büyük bir sorun var, $V_4$ grubu $S_4$ içinde normal değil, bu da bölüm bir grup tanımlamaz.

---

Klein-4'te her elemanın tersi kendisine eşit ve özdeşlikten farklı herhangi iki elemanın çarpımı üçüncü elemana eşittir. Özdeşlikten farklı her elemanı çifte transpozisyonlardır (12)(34), (13)(24) ve (14)(23) gibi. Bu nedenle V4, S4'ün içinde normaldir ve bölüm grubu oluşturulabilir.

Bölüm grubunu istiyorum. Ayrıca S3' e izomorftur bölüm grubu ama bunu gösteremedim.

---

Evet ya, tabii  ki normal. Bölüm $6$ elemanlı, döngüsel ve değişmeli de olmadığına göre $S_3$ olmak zorunda.

Answer 1

$S_{4}/V_{4}=\{(1)V_{4}, (12)V_{4}, (13)V_{4}, (23)V_{4}, (123)V_{4},(132)V_{4}\}$. Temsilcileri böyle seçtim ki-$S_{3}$' e izomorf olduğunu rahat görebilelim. $f:S_{3}\rightarrow S_{4}/V_{4}$, $f((12))=(12)V_{4}$ ve $f((123))=(123)V_{4}$ eşlemesi bir izomorfizma tanımlar.

$V_{4}=\{(1), (12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$ olmak üzere burada $(12)V_{4}=\{(12),(34),(1324),(1423)\}$ şeklindedir.

Comments

Teşekkürler...