Korsanlar

Question

Adları 1,2,3,4,5 olan beş akıllı korsan 100 altın bulmuşlar. Bu 100 altını korsanlar şu yöntemle paylaşacaklar. En küçük numaralı korsandan başlayarak, her korsan sırası geldiğinde bir paylaşım önerecek. Öbür korsanlar paylaşımı kabul edip etmediklerine dair oy kullanacaklar. Eğer paylaşım oy çokluğuyla kabul edilirse oyun bitecek. Eğer paylaşım kabul edilmezse paylaşımı öneren korsan denize atılacak ve paylaşım önerme sırası bir sonraki korsana geçecek. Birinci korsan nasıl bir paylaşım önermelidir?

Answer 1

Şöyle bir yaklaşım geliştirdim. Korsanlarımız $1, 2, 3, 4, 5$ olmak üzere, $x_{1}$ birinci korsanın almak istediği altın miktarı olsun.

Eğer eşit paylaşılmış olsaydı, $x_{1} = x_{2} = x_{3} = x_{4} = x_{5} = 20$ altın olacaktı. Fakat korsanlarımız aç gözlü olabilirler, eşit paylaşımı kabul etmeyebilirler.

O halde, herhangi bir $i=1, 2, \ldots, 5$ için $max~ x_{i}=100$ ve $min~x_{i}=0$ olabilir.

Birinci korsanımız şunu önersin, $x_{1} < 20$ altın alayım ve benden sonraki korsan paylaşım önersin.


İkinci bir yaklaşım da şöyle olabilir. İlk korsanımız $x_{1} = 0$ altın almayı önersin. Bu paylaşım kabul edilsin. Bu diğer korsanlar arasındaki rekabeti arttıracaktır. İkinci korsanın paylaşımının reddedilme şansı artacaktır. Üçüncü korsanın reddedilme şansı daha artacaktır. Çünkü her azalan korsan daha büyük kazanç anlamına geliyor. Son korsan $x_{5}=100$ altın istediğinde, sadece birinci ve beşinci korsan olacağı için, oy çokluğu sağlanamayacaktır (çünkü diğer korsanlar denize atılacaktır). Son korsanın eşitlikçi $x_{1} = x_{5} = 50$ altın önermesi öngörülebilir.

Comments

Korsanlar neyi onermeli degil soru. Soru: Korsanlar neyi onerir?

---

Daha da genel olarak, bu bes korsanin akibeti ne olur?

Answer 2

EK: Asagidaki yanit, baska bir sorunun yaniti. Diger korsanlarin degil, oneriyi yapan korsanin da oy verdigi duruma yanit.

Su varsayimla hareket ediyorum. Her korsan oncelikle hayatta kalmak istiyor, sonra alacagi altin miktarini maksimize etmek istiyor, aldigi altinin maksimum oldugu durumlarin icinden de en az sayida korsanin hayatta kalacagi durumu seciyor.

Dorduncu korsan, besinci korsanla yalniz kalmak istemez, cunku oy coklugu ile karar aliniyor. Eger bes ve dort yalniz kalirlarsa bes otomatik olarak (dort ne onerirse onersin) red oyu verir ve dort denizi boylar, bes altinlara konar. O halde uc kisi kaldigi zaman dorduncu kisi her seye evet diyecektir, aksi durum deniz... Bunu bilen ucuncu kisi dogal olarak 100, 0, 0 onerisinde bulunacaktir. Denizi boylamak istemeyen dort numara tabii ki bunu kabul edecektir ve oy cokluguyla 100 altini cukkalayacaktir. Bu demektir ki 

$$\text{Bu oyun uc kisi kaldigi durumda kesin olarak $100, 0, 0$ paylasimiyla biter.}$$  Ozel olarak, ucuncu, dorduncu ve besinci korsanlarin bu oyun sonunda denize atilma olasiliklari yok. Devam edelim. Bes numarali korsan her halukarda hayatta kalacagi icin bu son durum onun icin oldukca kotu bir (en kotu mu bilmiyoruz) senaryo. Ote taraftan son durum ucuncu oyuncu icin olabilecek en iyi senaryo. 100 altin aldigi bir durumda 3 kisiden az kisinin hayatta kalacagi bir senaryo olamaz cunku. O halde ucuncu korsan ilk iki korsani denize havale etmek isteyecekti. O halde iki kisilik duruma gecelim. Iki kisilik durumda ucuncu oyuncunun ne yapacagi belli. Amaci uc kisi kalmak. Ne onerilirse onerilsin reddedecek. Uc kisi kaldigi durumda dorduncu ve besinci korsan sifir altin alacaklari icin, eger ikinci korsan sifir altin onerirse onlara, hayatta kalan korsan sayisini minumum yapmak isteyecekleri icin hayir oyu vereceklerdir. O halde ikinci oyuncu, en az uc oya ihtiyaci oldugu icin, dorduncu ve besinci korsana en az bir altin vermeli. Aksi durumda bu bu korsanlar kesin olarak red oyu vereceklerdir ve iki numarali korsan denizi boylayacaktir. O halde dort ader korsanin kaldigi durumda iki numarali korsan 98, 0, 1, 1 onerisinde bulunur ve bu oneri 3'e karsi 1 oyla kabul edilir. Bu demektir ki, ikinci korsan, ilk korsan kendisine 99 altin teklif etmedikce hic bir teklifi kabul etmeyecektir. Ayrica, ucuncu korsan, dirt korsan kaldiginda sifir altin alacagini bildigi icin, sifir altin almadigi butun senaryolari kabul edecektir (sifir altin durumunda dork kisinin hayatta kaldigi ve sifir altin aldigi durumu tercih edecektir). Dorduncu ve besinci korsanlar da, bir altin alirlarsa, dort kisinin hayatta kaldigi ve bir altin aldiklari durumu tercih edeceklerdir. O halde birinci korsan dorduncu ve besinci korsanlara en az iki altin vermeli. Bu durumda cikan sonuc sudur.

Birinci korsan 97, 0, 1, 2, 0 (ya da 97, 0, 1, 0, 2) paylasimini onerir, iki ve bes (ya da dort) haric herkes kabul eder.

Comments

Bence oradaki en avantajli korsan 5. dışında 2 numara olan. Mesela 1 in onerisini kabul etmediler diyelim. 2 ne onerirse onersin  3 ve 4 evet oyu verecekler hayatta kalabilmek icin. 5 tabiki de kabul etmeyecek. Diyelim ki 3 veya 4 ten birisi kabul etmedi 2 yi dusurduler. Onerme sirasi 3 e gecer boylelikle ve 5 yine kabul etmeyecek. Evet icin oy coklugu saglanamayacagindan 3 de dusecek ve sonra 4 ne onerirse onesin 4 de dusecek. Simdi 2 nin kendi onermesini sundugu duruma donelim. 2 nin onermesi kabul edilecek cunku 3 ve 4 evet oyu verecekler. 5 belki de hic altin alamayacak. En basa donersek 1 numara 3,4 ve ozellikle  5 e en kotu ihtimalle birer altin vermelidir kabul oyu alabilmek icin. (2 tabiki de hayir diyecek).  Cunku kabul etmedikleri zaman digerleri hic altin alamayabilirler.

---

Yani, ne diyorsun anlamadim

Answer 3

Ece ‘nin dediği gibi sıra 2 ye geldiğinde 2 ne önerirse önersin  3 ve 4 kabul etmek zorunda aksi halde 5  2 nin onaylanmadığı her durumda hepsine hayır deyip oy çokluğunun sağlanmasına engel olup en sonunda tüm altını  kendi almak isteyecektir o halde sıra 2 ye geçerse  tüm altını ben alıyorum dediğinde 3 ve 4 bunu  onaylamak zorundadır yoksa 3 ve 4 dibi boylar 1 e dönersek;  sıra 2 ye geldiğinde 3,4 ve 5 numaradan hiçbiri  altın alamayacaktır o halde 3,4 ve 5 karlı oldukları her duruma evet diyeceklerdir yoksa bir tane bile  altın alamazlar 1 numara eğer bunlardan herhangi bir tanesine veya daha fazlasına en az bir altın verip razı etmedikçe  hayatını riske atmış olur çünkü altın alamayan için sıra 1 de veya 2 de olmuş hiçbir önemi yoktur nede olsa her iki durumda da altın alamayacak hatta bu akılsız paylaşımından dolayı 1 i cezalandırmaları kuvvetle muhtemel olacaktır  J  yani 1 numara en az 3 kişiyi razı etmelidir yani 97,0,1,1,1 şeklinde paylaştırabilir ve onay alır ayrıca 1 kaderini 2 ‘nin eline teslim edecek hiçbir paylaşımda bulunmamalıdır  yani onun onayına güvenip ona vereceği her altın israftan başka birşey değildir :D kaldı ki hepsini 2 numaraya verse bile 2 yine hayır diyebilir çünkü 1 in teklifi  onaylansa da onaylanmasa da nede olsa sıra kendisine geldiğinde tüm altını zaten alacaktır  bir korsandan başka da ne beklenebilir ki :D peki 1 en az 3 evet i nasıl alacaktır ki bunu garanti altına almadan ! yani 97,0,1,1,1 en iyi  tek seçenektir  ;)

Answer 4

Oneride bulunan korsan oy kullanmiyormus. Bu duruma gore yanit vereyim. 

Korsanlarin zeki olduklari soylemini nedeniyle korsanlarin davranislarini belirleyen onem siralamasinin soyle oldugunu kabul ediyorum: Ilk amac hayatta kalmak, ikinci amac maksimum miktarda altin elde etmek. Esit miktarda altin aldiklari durumda az sayida korsanin hayatta kaldigi durumu secmek de ucuncu belirleyici.

Bu sartlar altinda dort ve bes yanyana kaldiklari durumda dort her durumda olecektir cunku bes red oyu verip tek basina butun altinlari alcaktir. 3, 4 ve 5 varken, 4 ve bes oy verecektir. Bu durumda 5 numara red oyu vererek bir once inceledigimiz duruma getirebilir senaryoyu. Bir onceki durum bes numarali korsan icin olabilecek en iyi senaryo oldugu icin 3 numara ne onerirse onersin red oyu verecektir. O halde 3, 4, 5 varken sonuc 5in butun altinlari almasi ve digerlerinin olmesi olacaktir. O halde 2, 3, 4, 5 numarali korsanlarin oldugu durumda 3 numara ve 4 numara, oneri ne olursa olsun onay vereceklerdir, cunku 2 numaranin onersi kabul edilmezse 3, 4, 5 basbasa kalacakti ve bu durumun sonucu 3 ve 4 numarali korsanlarin olmesidir. Bu demektir ki, bu paylasim, eger 1 numarali korsanin onerisi kabul edilmezse, iki numarali korsanin onerisinin 3 ve 4 tarafindan onaylanmasiyla bitecektir. Bes kisi varken ne olacagini, bu olasi senaryolar isiginda inceleyelim. Once toparlayalim. Dort kisi kaldiginda su paylasim olacaktir:

2 numara: 100 altin alir,

3, 4 ve 5 numara: 0 altin alirlar.

Devam etmeden once bu paylasimin aciklamasini kisaca yeniden yapayim. Bu senaryo acik ki 2 numara icin olabilecek en iyi senaryo. Eger kabul edilecekse, bunu onermesi gerekir. Peki kabul edilir mi? Kabul edilmedigi durumda 3 ve 4 kesin olarak olecekleri icin bu oneriyi kabul edeceklerdir. Yani bu oneriyi yapacak kisinin en cok istedigi durum kabul edilecegi icin bu oneriyi yapacaktir.

Birinci kisinin onerisinin 4 kisi tarafindan oy cokluguyla kabul edilebilmesi icin 3 kisi tarafindan kabul edilmesi gerek. Ikinci, birinci elenirse elde edebilecegi en iyi sonuca ulacagi icin 1 numara ne onerirse onersin red oyu verecektir. Bu demektir ki, 1 numara, kendisi elenirse 3, 4 ve 5 numarali korsanlarin basina gelecekten daha iyi bir oneride bulunmak zorundadir. Herhangi birisine sifir altin veremez, bu durumda (0 altin 4 canli korsan, 0 altin bes canli korsandan daha iyi oldugu icin) onerisi kabul edilmeyecektir. O halde 3, 4 ve 5'e kesinlikle en az bir altin vermeli. Bu demektir ki, 1 numarali korsan

97, 0, 1, 1, 1

onerisinde bulunur, 2 numarali korsan kabul etmez. Oneri 1 olumsuz oya karsi 3 olumlu oyla kabul edilir.