Atwood makinası, mekanik etkiler,momentum değişimi.

Question

Açıklama:$+y$'yi gerçek hayattaki "yukarı"  $-y$'yi de gerçek hayattaki "aşşağı"  olarak varsayalım, aşşağıya doğru sürekli bir   $(-\overrightarrow g \; \overline y)$    yerçekimi ivmemiz var ve tabiki kütlemize bağlı bir kuvvet dolayısıyla eğer $m_1\neq m_2$  ise "Atwood makinası" 'nın sağ ipi veya sol ipindeki kütlelerden biri aşşağı doğru gidecek ve diğer kütleyi de kendine doğru çekecek, iplerin kütlesi ihmal ediliyor, ipdeki ve makaradaki sürtünme ihmal ediliyor ve hava sürtünmesi ihmal ediliyor.

                                                           Şekil 1:Atwood makinası 

Soru 1: Cisimlerden birinin daha ağır olduğunu varsayalım,dolayısıyla sistemin hareket ettiğini bilelim ve sistemdeki kütlelerin $a$ ivmesiyle hareket ettiğini varsayalım;
$a$ , $\overrightarrow g$  ve $m_1,m_2$ kütlelerine bağlı ortak bir denklem bulun.


Soru 2: Soru 1 de bulduğunuz denklemde $a$ veya $g$ 'ye göre denklem sistemini yalnız bırakıp veya farklı yöntemler deneyerek;  $T$ ipinin dayanabileceği maksimum kütleyi bulunuz.

Soru 3: Cisimlerden birinin daha ağır olduğunu varsayalım,dolayısıyla sistemin hareket ettiğini bilelim; "$\mathcal{AO}$" ipineki gerilme ; cisimler dururken $\mathcal{AO}_{T_1}$  olsun ve cisimlerden biri ağır olduğu durumda hareket ettiği sistemi düşünelim ve bu durumdaki gerilmeye $\mathcal{AO}_{T_2}$ diyelim; 

$\mathcal{AO}_{T_1}$   ve  $\mathcal{AO}_{T_2}$  arasındaki büyüklük kıyaslaması nedir?


Soru 4: Soru 3'de kıyasladığımız $\mathcal{AO}_{T_2}$  gerilimini elimizdeki değişkenlerle en sade halini ifade edelim.Bulduğumuz bu gerilme kuvvetinin, $F_{m_1}=-m_1.g\;\overline y$  ve  $F_{m_2}-m_2.g\;\overline y$  kuvvetlerinin vektörel toplamının düşey yöndeki momentum değişme oranına eşit olduğnu gösteriniz.

Matematik Eki;

Kuvvet : $F=ma=\dfrac{d}{dt}\left(P\right)$

Momentum : $P=mv=\displaystyle\int(ma)dt$

Momentum Değişimi : $\triangle P = P_{(t=n+\epsilon)}-P_{(t=n)}$

Kullanılabilecek kaynak;

http://matkafasi.com/100272/bir-cismin-ilk-konumlu-firlatilmasi-newton-hareket-yasalari#a100342

Comments

Makara kütleli olsa daha hoş olacak sanki :)

---

farketmez, asıl güzel nokta, ağır olan 2 cısmı tutan bır makara ,eğer hareket ediyorsa hafiflemesi,bunu burada ıspatlamak ayrı bır keyf ;)

---

Ondan demedim, makara eylemsizlik momenti kazandığından oluşan torkun $0$'dan büyük olması gerekiyor. Haliyle iki ipin iki tarafındaki gerilme birbirinden farklı oluyor. Öyle daha bir keyifli sanki :) Neyse önce bunları halledelim, senin sorunun hava sürtünmelisini sormayı da düşünüyorum :)

---

sor , makara şeyını de ekle

---

İpin maksimum dayanma noktası sorusu iyi, en azından şu an aklımda bir fikir yok :)

Answer 1

İlk önce sorulara bakalım sonra sorudaki anlamı yazalım;

Cevap 1:

Diyelim sistemin sağ tarafındaki $m_2$ daha ağır olsun ($m_2>m_1$) dolayısıyla sağdan aşağı doğru hareket etsin.Cisimlerin hareket yönleri  arasındaki açı $180$ yani birbirine tam zıt olduğundan daha rahat olarak sistemin tüm ivmesine $a$ diyebiliriz yerçekimi ivmesi $g$ ve  ip gerilme kuvvetine $T$ diyelim;


$m_2g-T=m_2a$

$T-m_1g=m_1a$

bu hareket-kuvvet eşitlikleri çıkar ve aradığımız denklem $T$'ye bağlı olmadığından;


$T=m_2(g-a)=m_1(a+g)$

veya taraf tarafa toplarsak;

$g(m_2-m_1)=a(m_1+m_2)$

Yani;

$\boxed{a=\dfrac{m_2-m_1}{m_2+m_1}g}$

Cevap 2: 
 
$a=\dfrac{m_2-m_1}{m_2+m_1}g$  

Bu denklemi yukardaki  $T$ olan denklemlerden birinde kullanırsak mesela $m_2g-T=m_2a$;

$m_2g-T=m_2\left(\dfrac{m_2-m_1}{m_2+m_1}g\right)\quad \to\quad T=\dfrac{2m_1m_2g}{m_1+m_2}$

Dikkat edersek bu değer;

$m_2g=\dfrac{2m_2m_2g}{m_2+m_2}>T=\dfrac{2m_1m_2g}{m_1+m_2}>\dfrac{2m_1m_1g}{m_1+m_1}=m_1g$

Yani 

$m_2g>T>m_1g$  görüldüğü üzre   $T$   ip gerilmesi  ağır cisimden küçük, hafiften büyükmüş;

Cevap 3:

Son bilgiler neticesinde  $\mathcal{AO}_{T}$  gerilimlerini yorumlayalım;

Cisimler dursaydı toplam ağırlık $\mathcal{AO}_{T_1}$ 'ye eşit olcaktı.Ama hareket ederken bırakın toplamına eşit olmayı , ağır cisimden bile daha az ağırlıkta geriliyordu.Yazıp görelim;

$\mathcal{AO}_{T_1}=m_1g+m_2g=(m_1+m_2)g$

yani; 

$>m_2g$

$m_2g>\mathcal{AO}_{T_2}>m_1g$

Toparlarsak;

$\boxed{\boxed{\mathcal{AO}_{T_1}>m_2g>\mathcal{AO}_{T_2}>m_1g}}$