Elimizde (n,m)=1 olduğunda τ(nm)=τ(n)τ(m) eşitliğini sağlayan bir fonksiyon olsun ve asal güçlerinde de şöyle ekstra bir özellik sağlanıyor olsun: τ(pn+1)=τ(p)τ(pn)−p11τ(pn−1)
Son olarak τ(0)=0 ve τ(1)=1 olsun. Bu bilgiler ışığında ve aşağıdaki iki soruyu kullanarak şu eşitliği ispatlayın: ∞∑n=1τ(n)ns=∏p(1−τ(p)ps+1p2s−11)−1
http://matkafasi.com/97161/uretec-fonksiyon-sorusu
http://matkafasi.com/4507/genellestirilmis-euler-carpimi
Not: Adı geçen τ(n) fonksiyonu Δ cusp formunun Fourier katsayılarıdır. Ancak bu sorunun çözümü için Δ'nın tanımını bilmeye gerek yok. Yalnızca yukarıdaki özelliklerinin bilinmesi yeterli.Yukarıdaki iki özellik Δ'nın tanımından doğrudan kolaylıkla çıkmıyor. Hatta Ramanujan τ'nun yukarıdaki anlamda çarpımsal olmasını ve yinemeli formülasyonunu ispatlamamış, sanı olarak bırakmıştır. Daha sonra Mordell bu iki sanıyı teorem haline getirmiştir. Ramanujan'ın τ ile ilgili meşhur üçüncü sanısı ise daha çok beklemiştir çözülmek için. (bkz: Deligne).