Question

$(\Bbb{Q},+)$ ve $(\Bbb{Q}/\Bbb{Z},+)$ grupları izomorf olur mu?

Answer 1

Bir onceki cevabima gelen yoruma istinaden, bu sefer ters yonden gitmeye calisayim.

$f: \mathbb{Q}/\mathbb{Z} \to \mathbb{Q}$ bir grup homomorfizmasi olsun ve $\frac{a}{b} \in \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ olsun. $f(\frac{a}{b})=q \in \mathbb{Q}$ diyelim.

Bu durumda,

$$bq = bf(\frac{a}{b})= f(b\frac{a}{b}) = f(a) = f(0) = 0$$

Demek ki, $bq = 0$. Bu durumda $b \neq 0$ oldugundan, ve rasyonel sayilar icerisinde $xy = 0$ esitligi $x = 0$ ya da $y= 0$ olmasini gerektireceginden; $q = 0$ olmasi gerektigini goruyoruz.

Yani, her $\frac{a}{b}\in\mathbb{Q}/\mathbb{Z} $ icin $f(\frac{a}{b}) = 0$ olmali. Bu da,

$$Hom_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Q}/\mathbb{Z}, \mathbb{Q}) = 0$$

demek oluyor. Baska bir deyisle, $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$'ten $\mathbb{Q}$'ya giden, sabit sifir fonksiyonunun disinda bir grup homomorfizmasi yoktur.

Answer 2

$f: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ bir grup homomorfizmasi olsun ve $f(1) = \frac{a}{b} \in \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ olsun. ($a$ ile $b$'nin pozitif ve $a \leq b$ oldugunu varsayalim, bir de $a$ ile $b$'nin ortak boleni olmadigini varsayalim. Bunlari varsaymak zorunda degiliz, ama ismizi kolaylastiriyor)

Bu durumda $$f(b) = f(1 + \ldots + 1) = f(1) + \ldots + f(1) = bf(1) = b\frac{a}{b} = a = 0$$

$b \neq 0$ oldugundan, $f$'nin cekirdeginde $0$'dan farkli bir eleman bulmus olduk. Demek ki $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ grubundan $\mathbb{Q}$ grubuna giden hicbir grup homomorfizmasi birebir olamaz. Dolayisiyla iki grup arasinda bir izomorfizma bulamayiz.

Comments

$a$ ile $b$ nin seçimi varsayım değil herhalde yani daima böyle bir seçim olsa gerek. İspat için teşekkürler. Birde $\Bbb{Q}/\Bbb{Z}$ bölüm halkasının elemanları sonlu mertebeden ancak $\Bbb{Q}$ nun birim hariç elemanları sonsuz mertebeden. Bu ise bu iki grubun izomorf olamayacağını söyler.

---

Tesekkurler, baska bir cevap daha ekledim bu yonde.