Question

$\Bbb{Q}(\sqrt{2})$ ile $\Bbb{Q}(\sqrt{3})$ halkaları izomorf olur mu?

Answer 1

$f$ bu tarz bi isomorfizma olsun: $f(1)=f(1\cdot1)=f(1)f(1)$ oldugundan ve isomorfizmadan $f(1)=1$ olur.

Her $\frac ab \in \mathbb{Q}$ icin $f(\frac ab)=\frac ab f(1)=\frac ab$ olacagi bariz.

O halde 

$2=f(2)=f(\sqrt 2^2)=f(\sqrt 2)^2$ ise ${f(\sqrt 2)}=\pm\sqrt{2} \in \mathbb{Q}(\sqrt 3)$ olmali. Bu da celiski getirir.

Comments

"Ek : $1\rightarrow 1$ alınmasada aynı işlemler yapılabilir" derken nasıl bir çelişki gördünüz?

---

Bu soru aslında şu: Eğer $\alpha$ ve $\beta$ eşlenik cebirsel sayılar değillerse $\mathbb{Q}[\alpha]$ ve $\mathbb{Q}[\beta]$ eşyapılı değildir.

---

$1\rightarrow 1$ şart mı? zaten öyle mi?

---

Celiski gormedim ama ayni islemler yapilir. Mesela $1 \rightarrow 3/2$ olsa $f(\sqrt 2)=\pm\sqrt 3$ olur.

Kimileri aliyor kimileri almiyor, ben de ondan ekledim.

---

Ya ben zaten saçma bir şey yazmışım. Düzelttim.

---

Burda zaten $f(1)=f(1\cdot1)=f(1)f(1)$ oldugundan, zaten $f(1)=1$ ya da $0$ olabilir.
Aklim bir an grup homomorfizmasina gitmis, niye gitmisse..

---

$f(1)=0$ ve $f(0)=0$ olduğundan ve $f$ bire-bir bu durum olmaz.

---

$f(1)=1$ olabilir ya da $f(1)=0$ olabilir (ama olamaz).

homomorfizma olmasina gerek yok, fonksiyon olsa bile tek elemana gitmek durumunda.

$-1$ olamaz zaten.. duzelttim onu.

---

Sercan şunu demek istiyor. $f(1)=f(1)f(1)$ eşitliği $f$'in $1$'de alabileceği değerleri sınırlıyor.

---

tamam oldu. ama diğer sorudan farkı izomorfizma olması.

---

$f$ in $1$ de alabileceği değer tek değil mi? yani $f$ izomorfizma iken. Anlaşamıyor muyuz?

---

$f$ eger bir fonksiyon ise $f$ her noktada bir deger alir. 

Galiba yorumunuzu duzeltmissiniz, ilk halindan bu anlasiliyordu (bunu anladim).

$f$ izomorfizmasi ise, evet birebir olmali ve de goruntu kumesindeki bir elemana giden sadece bir eleman vardir.

---

Yukarıdaki eşitlik bir sınır koyuyor ve $f(1)=0,1$ oluyor. İzomorfizma iken buna gerek yok tabi. Ben Sercan'ın demek istediğini kendimce açıklamaya çalışmıştım.

---

Peki anlaştık hepimiz.