Her sonlu bolum halkasi cisimdir.

Question

Gosteriniz: Her sonlu bolum halkasi cisimdir.

Ek bilgi: ifade "Weddenburn's Theorem" olarak da adlandiriliyor.

Comments

Bu teoremin güzel bir geometrik sonucu var (E. Artin in Geometric Algebra kitabında) . Biri çözümünü yazarsa ilgili soru olarak soracağım.

http://www.math.ubc.ca/~reichst/423-project-wedderburn.pdf

de üç tane ispatı var.

---

Ben de baskasi ayni cevabi vermezse Finite Fields-Lidl kitabindaki ispati koymayi dusunuyordum.

Answer 1

Doğan Hocam'ın bağlantısını verdiği sayfadaki ilk ispatı biraz parçalayarak ve biraz da açarak yazmaya çalışacağım.

---

Diyelim $D$ sonlu bir bölüm halkası ve $Z$ de onun merkezi olsun. Bu durumda $Z$ bir cisim ve $D$, $Z$ üzerinde bir vektör uzayı olur. $Z$'nin $q$ adet elemanı olduğunu varsayalım. Bu durumda $D$'nin $q^n$ tane elemanı olur, buradaki $n$ sayısı, $D$'nin $Z$ üzerindeki boyutu.

$0$ hariç, $D$'nin içindeki tüm elemanlar tersinir, o halde $|D^{\times}|=q^n-1$. $D$'den aldığımız bir $a$ elemanının merkezleyicisini (centralizer) $C(a)$ ile gösterelim. Açık ki $C(a)$ da, $Z$ üzerinde bir vektör uzayı ve bu yüzden $q^d$ tane elemanı var, buradaki $d$ sayısı, $n$'den küçük bir pozitif tamsayı tabii ki. Ek olarak $|C(a)^{\times}|=q^d-1$. Diğer taraftan $C(a)^{\times}$ grubu, $D^{\times}$ grubunun bir alt grubu. Lagrange Teoremi gereği $q^d-1|q^n-1$ olmalı. Kolayca gösterilebilir ki aslında $d|n$.

$D^{\times}$ grubunun merkezi $Z^{\times}$ olduğundan, sınıf denklemi bize $$|D^{\times}|=|Z^{\times}|+\sum_{a\notin Z}\frac{|D^{\times}|}{|C(a)|},$$ diğer bir deyişle $$q^n-1=q-1+\sum_{d|n\ \&\ d<n}\frac{q^n-1}{q^d-1}$$ olduğunu söyler. Biliyoruz ki, $\Phi_n(q)$ polinomu eşitliğinin sağ tarafındaki toplam sembolünün içindeki her şeyi ve  $q^n-1$ ifadesini böler. Bu durumda $q-1$ ifadesini de bölmeli.

Şimdi velev ki $n>1$ olsun. $\alpha$, birin herhangi bir n-inci ilkel kökü olmak üzere, $$\|q-\alpha\|>\|q-1\|$$ ifadesinin sağlandığı kolayca görülebilir. Ama bu durumda, $$\Phi_n(q)=\prod (q-\alpha)>q-1$$ ifadesi elde edilir ki bu da $\Phi_n(q)$'nun $q-1$'i bölmesiyle çelişir.

Demek ki $n=1$ olmalı. Yani $D=Z$, yani $D$'nin içindeki tüm elemanlar değişmeli, yani $D$ bir cisim.

---

Bu güzel soru ve bağlantı için teşekkürler. O geometrik sonucu heyecanla bekliyorum. 

Comments

Sonuç: Sonlu sayıda noktası olan Desargues düzlemlerinde Pappus ün Teoremi doğru olur. 

(Çünkü Desargues düzlenlerinden bir "çarpık" (değişmeli olmayabilen) cisim elde edilir. Sonlu bir geometride bu cisim de sonlu olur. Ayrıca bu "çarpık" cismin değişmeli olması Pappus ün teoreminin doğru olmasına eşdeğerdir. (E. Artin: Geometric Algebra sayfa 75, Teorem 2.19)