Bir grubun sınıf denklemi

Question

$G$ bir grup ve $a$ bu gruptan alınan bir eleman olsun. $Z$ ile grubumuzun merkezini (center), $C(a)$ ile $a$ elemanının merkezleyicisini (centralizer) gösterelim. Gösteriniz ki, $$|G|=|Z|+\sum_{a\notin Z}\frac{|G|}{|C(a)|}$$ eşitliği sağlanır.

Not: Toplam ifadesinde birbirine denk elemanların denklik sınıfını bir kez alıyoruz. Bu özel formda yazmamın sebebi, başka bir soruda bu eşitliğin kullanılıyor olması.

Comments

toplamin altindaki indis dogru mu? tek elemanli olmayan konjuge klaslar icin de toplam olmasi gerekiyor sanki.

---

?                  

---

Not etmiştim cevap vermek için, kaçmış gözümden affedersin. Tam olarak ne demek istediğini anlayamadım ama şöyle diyebilirim, ifadenin orijinal halinde toplam sembolü sonlu tane terim üzerinden dönüyor ve bu elemanlar tam olarak merkezde (center) olmayan elemanlar, yani bu ifade de doğru.

---

$C_1,\cdots,C_m$ tek elemanli olmayan konjuge klaslar olsun. $|G|=|Z|+\sum\limits_{i=1}^m[G:C_i]$ olmali. Asagidaki yorumlarda da yazdim, bu haliyle sag toplam ($G$ abel degilse) $>|G|$ oluyor.

---

Ben hala şunu anlayamadım: Benim denk olduğunu ifade ettiğim şey mi seni ikna etmiyor, yoksa senin burada yazdığın yaygın olan formül mü?

---

Ben esit olmadigini, hatta sag tarafin buyuk oldugunu buluyorum. Beni ikna etmeyen bu.

$a\not \in Z$ ise $C(a) \ne G$, yani $|G|/|C(a)|>1$. Bu da sunu der $\sum\limits_{a\not \in Z}\frac{|G|}{|C(a)|}>|G|-|Z|$.

---

Ha, sıkıntı şu: Birbirine denk elemanların tek bir sınıfı var tabii ki. Ama biz bu burada her eleman için bu sınıfı hesaba katıyoruz. Teşekkürler, düzenliyorum.

---

Bu arada ilgili sorudaki makaleye de baktim, o da bu (ilk yazilan) sekilde yazmis .s

---

Beni de o yanıltmış zaten, zannediyorum o özel durum için böyle bir şey var. Ona da bakacağım.

Answer 1

$a\in G$ için $C(a)=\{b\in G \mid ab=ba\}$, yani $a$ ile yer değiştiren elemanların kümesi.
Bu küme $G$ grubunun bir altgrubudur.

$Z$ grubun merkezini göstermek üzere $a\in Z \Longleftrightarrow C(a)=G \Longleftrightarrow [G:C(a)]=1$ şeklindedir.

$a,b\in G$ olmak üzere $a\sim b \Longleftrightarrow b=cac^{-1}$ olacak şekilde bir $c\in G$ varsa.
Bu bağıntı bir denklik bağıntısıdır(eşlenik olma) ve $G$ yi denklik sınıflarına ayrıştırır. Ayrıca $a\in G$
nin eşleniklerinin sayısı $\mid C_{l}(a)\mid=[G:C(a)]$ ve $G=\displaystyle\cup_{a }C_{l}(a)$ olup $\mid G \mid =\displaystyle \sum_a[G:C(a)]$ şeklindedir. Buradan;

$\mid G \mid =\displaystyle\sum_{ a\in Z}[G:C(a)]+\displaystyle\sum_{a\notin Z}[G:C(a)]$

Diğer taraftan $a\in Z\Longleftrightarrow [G:C(a)]=1$ ve $\mid G \mid =\mid Z \mid +\displaystyle\sum_{a\notin Z}[G:C(a)]$
elde edilir.

Soru: Grubumuz sonsuz olduğunda sınıf denklemi mevcut mudur?

Comments

Yukarida soru icin de dedim de: $a \not \in Z$ dediginde ayni konjuge klaslar icin ayni degerleri tekrar toplayacaz. 

Zaten bu haliyle her toplanan eleman $1$'den buyuk oldugundan grup abel degilse $|G|>|G|$ elde ederiz.

Ya da ben mi yanlis anliyorum, grup teorim cok iyi degil.

---

Tek elemanlı Sınıflar Z içinde. Eleman bazında. 

---

O kisim tamam. 

Eger $G$ abel degilse ve $a \not \in Z$ ise $\frac{|G|}{|C(a)|}>1$.  O zaman toplam $>|G\backslash Z|$. Yani $|G|>|Z|+|G\backslash Z|=|G|$ gelir.

Toplam altindaki $a$'lar $G=\cup_a C_l(a)$ (<- ispatta gecen) sartini saglayan "representive"ler altinda olmali degil mi?

---

G olmasında sakınca var mı? Temsilciler ne olursa olsun aynı sınıf altında toplanırlar. 

---

Evet. Peki ikinci paragrafta yazdigim celiski deil mi?

Dertli gelen kisim: $a \not \in Z$ yerine ayrik konjuge klaslar altinda toplamamiz gerektigi, ispatta da $|G|=\sum_a[G:C(a)]$ yazarkek ayrik konjuge klaslarin kullanilmasi gerekir. Eger $a \in G$ ise burdan da abel olmayan durumlarda $|G|>|G|$ gelir.

---

Denklik Sınıfları olduğundan hepsi ayrık.  Öyle yazarsak grubun merkezi ile nasıl ilişkilendirebiliriz? Bir de son cümleyi anlayamıyorum.

---

Eger toplamin altina belirtilen $a$'lar $G$'nin tum elemanlari ise $|G|>|G|$ olur.

Denklik siniflari ayrik, fakat cakisanlar var. Onlari cikartmamiz gerekir toplamdan.

---

Evet şimdi anladım. 

---

Ancak başlangıçta denklik Sınıfları birleşimi olarak yazıldığından G; sonuçta bir Sıkıntı olmamalı. Tekrar sayım yok. 

---

Bu da su demek oluyor: son toplamin altindaki de ona gore olmali.


$C_1,\cdots,C_m$ tek elemanli olmayan konjuge klaslar olsun. $|G|=|Z|+\sum\limits_{i=1}^m[G:C_i]$.. olmali sonucumuz.