Mertebesi $120$ olan basit bir grubun olamayacağını gösterin.

Question

mertebe: order, basit: simple.

Answer 1

Bu sorunun cevabı internette var. S_5'in degil de A_6'nin icine gomup elde ediliyor celiski. 

https://crazyproject.wordpress.com/2010/07/18/there-are-no-finite-simple-groups-of-even-order-less-than-500-except-for-the-orders-2-60-168-and-360/

Kisaca soyle: G eleman sayisi 120 olan basit bir grup olsun. Ali hocanin yazdigi gibi G'nin Sylow 5-altgruplarinin sayisi 6. Dolayisi ile G yi S_6'nin icine gomebiliriz. G nin normal altgrubu olmadigi icin A_6'nin icinde kalir. A_6 icinde P 5 elemanli Sylow altruplardan biri olsun. P nin G deki normallizer'i 20 elemanli, ama P nin A_6'daki normalizer'i 10 elemanli (direkt permutasyonlar kullanarak hesaplanabiliyor). Bu da celiski veriyor.

Answer 2

Buna cevap verip, bir de ilgili soru sormak istiyorum. 

Sorum su: Eger $|G|=120$ ise $G$'nin $[G:H] \leq 5$ sartini saglayan bir altgrubu ($H$) vardir.
(Ek olarak:$|G|=120$'den 2,3,5'ten biri olmak zorunda bu indeks ama 3 ya da 5'ten birinin kesinlikle olmasi gerek)

Simdi bunu bilgiyle beraber, $G$'nin basit oldugunu kabul edelim, o zaman $G$'yi $S_5$ icine gomebiliriz (teoremin ismini bilmiyorum). Ikisinin de mertebesi 120 oldugundan bunlar izomof. Bu da celiski getirir, cunku $S_5$ basit degil, $A_5$ onun normal alt grubu (indeksi 2 cunku.)

Comments

Olumlu yanıtlamak? İnancım sonsuz, öyledir de. Olumlu yanıt neye deniyor, gerçekten bilmiyorum.