Halka bir cisimdir eğer her homomorfizma birebir ise

0 beğenilme 0 beğenilmeme
61 kez görüntülendi

 $R$ bir halka olsun. O zaman:
$R$ bir cisimdir $\iff$ $R$'den herhangi $B \neq 0$ halkasına tanımlı her homomorfizma birebirdir. Gösteriniz. 

14, Ekim, 2016 Lisans Matematik kategorisinde Kirmizi (468 puan) tarafından  soruldu

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Ikinciyi kabul edelim ve $R$ halkasindan $(x)\ne (1)$ olacak sekilde bir eleman alalim. Bu elemana karsilik gelen $B_x=A/(x)$ bolum halkasini ve dogal $A \to B_x$ homomorfizmasini alalim. Bu halkanin cekirdegi $(x)$ olur ve "kabulumuzden" dolayi homomorfizmamiz birebir oldugundan $x=0$ olmali.

Bu bize $x\ne 0$ haricinde $(x)=(1)$ oldugunu verir. Yani sifir olmayan her elemanin tersi vardir. Dolayisiyla da $R$ bir cisim olur. 


Ilkini kabul edelim. Bir cisimin iki adet ideali vardir. $(0)$ ve $(1)$. (Bu cok acik). Herhangi homomorfizmanin cekirdegi bir ideal olacak. Cekirdegin $(1)$ olmasi, tum elemanlarin sifira gitmesini gerektirir, bu sifir olmayan halka disinda mumkun degil cunku $1 \to 1$  olmali.  Bu da cekirdegin $(0)$ olmasini zorunlu kilar ve dolayisiyla homomorfizm birebir olur.

14, Ekim, 2016 Sercan (22,513 puan) tarafından  cevaplandı
14, Ekim, 2016 Kirmizi tarafından seçilmiş

Kanıt çok net Sercan hocam, ben mesela $\implies$ kısmında uzun uzun $\phi(a)=\phi(b)$ ise $a-b$ çekirdektedir diye ilerlemiştim.

Sercan'ın yorumunu biraz daha genelleştirip "Eğer R bir cisim ise ve I bir ideali ise, I = 0 ya da I = R olmalıdır" diyebilirsin. Bunun tersi de doğru. Bunu da kullanabilirsin.

...