birimli değişmeli bir halkada ispat - Matematik Kafası

birimli değişmeli bir halkada ispat

0 beğenilme 0 beğenilmeme
55 kez görüntülendi
R birimli değişmeli bir halka ve a,b R olsun. buna göre (a)(b)=(ab) gösteriniz.
şimdi burada (a)(b) ⊂ (ab) gösterebildim ama diğer yönü nasıl gösterebiliriz.
24, Mayıs, 24 Lisans Matematik kategorisinde Ayalp (28 puan) tarafından  soruldu
24, Mayıs, 24 DoganDonmez tarafından yeniden kategorilendirildi

burada tam gösterilmesi gereken şey nedir, tam anlamadım?  $(a)(b)=(ab)$ kapalı olduğunu mu söylüyor ? ....

R değişmeli halka olduğundan (a)= {ra+na| r eleman R ve n eleman Z) şeklinde tanımlıdır. Kapalılık değil. 

$S$ bos olmayan bir kume olsun. $<S>$ ya da $(S)$ notasyonlari $S$ kumesini iceren en kucuk ideal icin verilir. 

Genel de elemanlari yazilabilecek kadarsa $\{ \}$ notasyonu kadirilir. $<\{a\}>$ yerine $<a>$ yazilir.

bu arada $(a)=\{ar\;|\; r\in R\}$ diye veriliyor ve adı principial ideal diye geçiyor diye hatırlıyorum.

Birimli ve degismeli halkalarda evet. Degilse ne olur? Mesela

(1) $1\not \in R$ ve degismeli ise 

(2) $1\in R$ ama degismeli degil ise

R değişmeli halka olduğundan (a) idealini o şekilde tanımlıyoruz. 

Soruda birimli dendigindenAnil'in dedigi sekilde yazmak daha iyi olur.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

y $\in$ (a)(b) olsun. bu takdirde y= $r_1$a$r_2$b olacak şekilde $r_1$,$r_2$ $\in$ R vardır. R değişmeli olduğundan y=$r_1$.$r_2$ ab yazabiliriz. Buradan $r_1$.$r_2$ =r dersek,  y=rab olur.

y $\in$ (ab)

tersine :

y $\in$ (ab)olsun. bu takdirde y= rab olacak şekilde r $\in$ R vardır. y=ra$1_r$b yazabiliriz. buradan 

y $\in$ (a)(b) olur.


26, Mayıs, 26 Ayalp (28 puan) tarafından  cevaplandı
...