Sonlu bir halkada $ab=1$ ise $ba=1$ olur mu?

Question

$R$ sonlu bir halka ve $a,b \in R$ icin $a*b=1$ ise $b*a=1$dir.

Comments

Sonlu bir halka kastediyorsunuz sanıyorum.

---

ingilizceden turkceye gecme problemi yasiyorum da, tesekkur ederim.

Answer 1

$f:R\to R,\ f(x)=x*a$ ve $g:R\to R,\ g(x)=x*b$ olsun. $a*b=1$ oluşundan $gf$ bileşkesinin birim dönüşüm olduğu görülüyor. Buradan, $f$ nin 1-1, $g$ nin ise örten olduğu sonucu çıkar. $R$ sonlu olduğundan her ikisi de 1-1 ve örtendir. Dolayısıyla $fg$ de birim dönüşümdür. $1=fg(1)=b*a$ olur.

Comments

Guzel ve sade bir cozum. Tesekkur ederim.

---

Aslında burada halka olmanın da bir önemi yok. Herhangi bir sonlu kümede tanımlı, birleşmeli (associative) ve birim elemanlı her işlem için sağ ters aynı zamanda sol ters olur. Aynı ispat geçerlidir.

---

Bugun icin iyi bir kar oldu bu yontem bana.