Halkada birden fazla sag ters elamanin olmasi

0 beğenilme 0 beğenilmeme
90 kez görüntülendi
Gosteriniz "Bir halkada bir $x$ elemaninin birden fazla sag tersi varsa sonsuz tane tersi vardir."
15, Şubat, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Sercan (23,218 puan) tarafından  soruldu
15, Şubat, 2015 Sercan tarafından düzenlendi
Ters eleman tanımınız nedir? Benim bildiğim tanım $x$ elemanının tersi $$A\cdot x=x\cdot A=1$$, denkleminin çözümü olarak veriliyor. Bu tanıma göre de  elemanların ancak bir tane tersi olabilir.

bilgiyi duzenledim.

Bu soru su problemi de cevapliyor: bir halkada $a*b=1$ olmasi $b*a=1$ olmasini gerektirmez.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Şu adreste bir çözüm var, oradakini çeviriyorum.


Diyelim $u \in R$ bir eleman, ve $v$ diye bir sağ tersi var, yani $uv = 1$, o zaman 


$v + (1 - vu) u^n$ elemanlarının her biri bir sağ ters: $$ u (v + (1-vu)u^n) = uv + u^{n+1}  - u^{n+1} = 1.$$

Dahası bunların ikisinin eşit olduğunu varsaymak $u$'nun bir sol tersi olduğu sonucunu doğuruyor. Diyelim $n>m$ ve diyelim

$$ v + (1 - vu)u^n  = v + (1- vu) u^m \Longrightarrow (1 - vu) u^{n-m} = (1-vu) $$

oradan da $$ \left((1 - vu) u^{n-m-1} + v\right) u = 1 $$ sonucunu verir. Yani $u$'nun bir de soldan tersi varmış.

O soldan terse $w$ diyelim.  $w = w1 = w(uv) = (wu)v = 1v = v$, demek ki $v = w$.

Yani bir elemanın soldan ve sağdan birer tersi varsa o tersler birbirine eşit olmak zorundadır. Sağdan iki adet tersi varsa da o iki tersin ikisi de soldaki terse eşit olmak zorunda, demek ki birbirlerine eşit olmak zorundalar.
Sonuç olarak eğer bir halkada bir elemanın birden fazla tersi varsa $v + (1-vu) u^n$'lerin herbiri ayrı bir sağdan ters olmak durumunda, yani sonsuz adet sağdan tersi varmış.


Yalnız malesef bu cevap halkalarda $a*b=1$ eşitliğinin $b*a=1$ eşitliği anlamına gelmeyeceğini söylemiyor. Belki yukarıda bahsi geçen durum halkalarda hiç olmuyor. Olduğunu tahmin ediyorum ama şu anda aklıma bir örnek gelmiyor.
16, Şubat, 2015 E. Mehmet Kıral (253 puan) tarafından  cevaplandı
19, Mart, 2015 Sercan tarafından seçilmiş
...