Halkada birden fazla sag ters elamanin olmasi

Question

Gosteriniz "Bir halkada bir $x$ elemaninin birden fazla sag tersi varsa sonsuz tane tersi vardir."

Comments

Ters eleman tanımınız nedir? Benim bildiğim tanım $x$ elemanının tersi $$A\cdot x=x\cdot A=1$$ , denkleminin çözümü olarak veriliyor. Bu tanıma göre de  elemanların ancak bir tane tersi olabilir.

---

bilgiyi duzenledim.

---

Bu soru su problemi de cevapliyor: bir halkada $a*b=1$ olmasi $b*a=1$ olmasini gerektirmez.

Answer 1

Şu adreste bir çözüm var, oradakini çeviriyorum.

Diyelim $u \in R$ bir eleman, ve $v$ diye bir sağ tersi var, yani $uv = 1$, o zaman 

$v + (1 - vu) u^n$ elemanlarının her biri bir sağ ters: $$u (v + (1-vu)u^n) = uv + u^{n+1}  - u^{n+1} = 1.$$

Dahası bunların ikisinin eşit olduğunu varsaymak $u$'nun bir sol tersi olduğu sonucunu doğuruyor. Diyelim $n>m$ ve diyelim

$$v + (1 - vu)u^n  = v + (1- vu) u^m \Longrightarrow (1 - vu) u^{n-m} = (1-vu)$$

oradan da $$\left((1 - vu) u^{n-m-1} + v\right) u = 1$$ sonucunu verir. Yani $u$'nun bir de soldan tersi varmış.

O soldan terse $w$ diyelim.  $w = w1 = w(uv) = (wu)v = 1v = v$, demek ki $v = w$.

Yani bir elemanın soldan ve sağdan birer tersi varsa o tersler birbirine eşit olmak zorundadır. Sağdan iki adet tersi varsa da o iki tersin ikisi de soldaki terse eşit olmak zorunda, demek ki birbirlerine eşit olmak zorundalar.
Sonuç olarak eğer bir halkada bir elemanın birden fazla tersi varsa $v + (1-vu) u^n$'lerin herbiri ayrı bir sağdan ters olmak durumunda, yani sonsuz adet sağdan tersi varmış.

Yalnız malesef bu cevap halkalarda $a*b=1$ eşitliğinin $b*a=1$ eşitliği anlamına gelmeyeceğini söylemiyor. Belki yukarıda bahsi geçen durum halkalarda hiç olmuyor. Olduğunu tahmin ediyorum ama şu anda aklıma bir örnek gelmiyor.