Sonlu bir halkada $ab=1$ ise $ba=1$ olur mu?

1 beğenilme 0 beğenilmeme
95 kez görüntülendi
$R$ sonlu bir halka ve $a,b \in R$ icin $a*b=1$ ise $b*a=1$dir.
15, Şubat, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Sercan (23,218 puan) tarafından  soruldu
16, Şubat, 2015 anesin tarafından düzenlendi

Sonlu bir halka kastediyorsunuz sanıyorum.

ingilizceden turkceye gecme problemi yasiyorum da, tesekkur ederim.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

$f:R\to R,\ f(x)=x*a$ ve $g:R\to R,\ g(x)=x*b$ olsun. $a*b=1$ oluşundan $gf$ bileşkesinin birim dönüşüm olduğu görülüyor. Buradan, $f$ nin 1-1, $g$ nin ise örten olduğu sonucu çıkar. $R$ sonlu olduğundan her ikisi de 1-1 ve örtendir. Dolayısıyla $fg$ de birim dönüşümdür. $1=fg(1)=b*a$ olur.

16, Şubat, 2015 DoganDonmez (3,534 puan) tarafından  cevaplandı
19, Mart, 2015 Sercan tarafından seçilmiş

Guzel ve sade bir cozum. Tesekkur ederim.

Aslında burada halka olmanın da bir önemi yok. Herhangi bir sonlu kümede tanımlı, birleşmeli (associative) ve birim elemanlı her işlem için sağ ters aynı zamanda sol ters olur. Aynı ispat geçerlidir.

Bugun icin iyi bir kar oldu bu yontem bana.

...