Dizilerde Limit

Question

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left[ 1-\sin \left( e^{-n}\right) \right] ^{n}$ limitini hesaplayınız.

Comments

1^sonsuz   belirsizliğinde

Lim(1+f(x))^g(x) => limf(x).g(x)=k ise lim(1+f(x))^g(x)=e^k oluyor bunu kullanarak 

LimX->sonsuza (1+(sin(-e^-x))^x =limx->sonsuza x.sin(-e^-x)=(0.sonsuz belirsizligi, x i paydaya atalim  )=limx->sonsuza sin(-e^-x)/x =limX->sonsuza siN(-e^-x)/(1/x)=0/0 belirsizliği Lhospital uyguLabilirz

   Bu yardımcı olur mu bilmiyorm 

Answer 1

$sin({e}^{-n} )$ =$({e}^{-n}-{\frac{{e}^{-3n}}{3!}}+{\frac{{e}^{-5n}}{5!}}-{\frac{{e}^{-7n}}{7!}}+...)$

$\frac{sin({e}^{-n})}{{e}^{-n}}$=$(1-{\frac{{e}^{-2n}}{3!}}+{\frac{{e}^{-4n}}{5!}}-{\frac{{e}^{-6n}}{7!}}+...)$

$lim_{n->{\infty}}(\frac{sin({e}^{-n})}{{e}^{-n}})$ =$1$  dir. O halde limit durumunda $n$ ->$\infty$  iken , $sin({e}^{-n})$ yerine onun dengi olan ${e}^{-n}$ yazmak işimizi kolaylaştırır. 

$=>$  $lim_{n->{\infty}}{[1-{sin({e}^{-n})}]}^{n}$=$lim_{n->{\infty}}{[1-{{e}^{-n}}]}^{n}$

$=>$  $lim_{n->{\infty}}{[1-{{e}^{-n}}]}^{n}$=$lim_{n->{\infty}}{[1-{\frac{1}{{e}^{n}}}]}^{n}$

$=>$  $lim_{n->{\infty}}{[1-{\frac{1}{{e}^{n}}}]}^{n}$=${e}^{lim_{n->{\infty}}[\frac{-n}{{e}^{n}}]}$

$lim_{n->{\infty}}[\frac{-n}{{e}^{n}}]$=$0$

$=>$ ${e}^{lim_{n->{\infty}}[\frac{-n}{{e}^{n}}]}$=${e}^{0}$=${1}$

Dolayısıyla , $lim_{n->{\infty}}{[1-{sin({e}^{-n})}]}^{n}$=${1}$

Comments

Dizilerde L'h kullanamayiz.

Kullanmak istersek eger ilk once $x \in \mathbb R^+$ icin $f(x)=(1-\sin(e^{-x}))^x$ fonksiyonunu tanimlayip L'h kullanabiliriz. 

Peki bu bize dizinin limiti hakkinda bilgi verir mi?

---

Diziler de birer fonksiyon değil midir zaten? 

---

Dizilerde fonksiyon elbet, fakat L'h dedigimiz yontem dizilerde tanimli degil. Olmamasi icin basit bir sebep var: Turevi nasil alacagiz? 

---

L'h i  $lim_{n->{\infty}}[\frac{-n}{{e}^{n}}]$ işlemine uyguladım. Burda ne gibi bi hata var anlayamadım..

---

Demek istediginiz bu mu: $f:\mathbb N \rightarrow \mathbb N$ ve $f(n)=n$ ise $f^{'}(n)=1$.

Eger bu ise turevini nasil aldik, sorum bu.

Limitin sifir olmasinda bir hata yok cunku limit sifir, fakat bulma yonteminiz hatali.

---

L'H de pay ve paydanın ayrı ayrı türevi alınıyor. yani,

$lim_{n->{\infty}}[\frac{-n}{{e}^{n}}]$=$lim_{n->{\infty}}[\frac{(-n)'}{({e}^{n})'}]$=$lim_{n->{\infty}}[\frac{-1}{{e}^{n}}]$=0

kastettiğim buydu.

---

O kismi anladim. Fakat soruma cevap vermediniz: ordaki $n$'nin turevini nasil aldiniz?

Eger $\mathbb R$'de tanimli $f(x)=x$ fonksiyonumuza bakarsak: $f'(x)=\lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{(x+h)-x}{h}=1$.

Ayni sekilde $f(n)=n$ icin nasil gostericez?

---

Tamam sorunu şimdi anladım $f(n)$ in tanım kümesinde bi sıkıntı var. O zaman L'H değil. şöyle mi yorumlanması gerek o zaman : 

$lim_{n->{\infty}}[\frac{-n}{{e}^{n}}]$=0 çünkü paydadaki üstel fonksiyon paydakine göre sonsuza daha hızlı ıraksar.

---

Bu en azindan ispatsiz olsa da dogru.

ispati icin: $e^n>n^2$ tumevarimla gosterilip daha sonrasinda sandavic teoremi kullanilabilir.