Peano eğrilerinin heryerde türevlenebilir olmadığını kanıtlayabilirmisiniz?

Question

Tanım(Peano eğrisi): Bir yozlaşmamış -yani tek öğeli kümeden oluşmayan- $I\subset \mathbb{R}$ aralığında tanımlanmış, öziçi boş olmayan değer kümesine sahip ve sürekli bir $\gamma:I\rightarrow \mathbb{R}^2$ göndermesine Peano eğrisi denir.

Bir yolu aşağıdaki teoremi "$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ türevlenebilir" özel durumuna uydurup kullanmak olabilir, ama nasıl?

Teorem(Sard,1942): $M$ bir $m$ boyutlu ve $N$ de  bir $n$ boyutlu düzgün/gıcır birer çokkatlı olsunlar. $f:M\rightarrow N$ düzgün bir gönderme ($f\equiv (f_1,...,f_n)$), $K$ ise $f$ göndermesinin tüm kritik noktalarının oluşturduğu küme olsun, yani $K:=\{ x:x\in M, \text{mertebe}\left[\begin{matrix}(D_1f_1)(x)&...& (D_mf_1)(x) \\ : & : & :\\ (D_1f_n)(x) & ...& (D_m f_n)(x) \end{matrix}\right]<n\}$.

O zaman, $f(K)$'nın $N$'deki ölçüsü sıfırdır.

Comments

Türevlenemez derken ne kastediyorsunuz? Eğer "hiçbir yerde türevlenemez" demek istiyorsanız önerme bu haliyle yanlış çünkü uzay dolduran bir $f:[0,1/2] \rightarrow [0,1]^2$ eğrisi alıp fonksiyonu $[1/2,1]$ aralığında sabit değer alacak şekilde genişletirsek bu aralıkta türevlenebilir olur ve türevi sıfır olur.

Sanırım sormak istediğiniz soru her yerde türevlenebilir bir uzay dolduran eğrinin olmadığı.

---

Evet, Peano eğrilerinin heryerde türevlenebilir olmadığını kastetmiştim.