Bir üç katlı integral sorusu ve önemi

1 beğenilme 0 beğenilmeme
162 kez görüntülendi

(içi dolu) bir küre ve dışında bir nokta verilsin.

Noktadan kürenin (içindeki) noktalara uzaklığın tersinin ortalama değerinin, noktanın kürenin merkezine olan uzaklığının tersine eşit olduğunu gösterin.

(Ortalama değer: $f(x,y,z)$ fonksiyonunun bir $R$ uzay bölgesindeki ortalama değeri=$\frac{\iiint_Rf(x,y,z)\,dV}{R\textrm{ nin hacmi}}$)

Bunun nasıl bir fiziksel anlamı olabilir?

3, Haziran, 2016 Lisans Matematik kategorisinde DoganDonmez (3,158 puan) tarafından  soruldu
3, Haziran, 2016 DoganDonmez tarafından düzenlendi


Umarım sazanlanmıyorumdur :)
   
hocam bu benim sordugum kütle çekim hesabının detaylı ölçümü sorusuna çok benziyor ,aynı noktayı içeride de alabılırız sanıyorum(sadece tahmin etmeye calıstım.) 

ama benım soruda sonsuz katlı ıntegralde sonsuz noktaya göre ortalama alınması gerekıyor sanırım.

http://matkafasi.com/80960/yercekimi-kuvveti-hesabi-taktikler

bu sorunun anlamını ve yöntemini merak ediyorum,güzel bir soru olmalı .

O soruyu görünce aklıma geldi bunu sormak. Ama onun cevabı farklı diye hatırlıyorum.

Çözümü ve önemini de senden bekliyorum zaten!

En kısa zamanda yapmaya calısıcam hocam,teşekkürler.Kutupsal(polar koordinant) olarak buldum ,R uzay bölgesi için bir çözüm ama açılar olmadan nasıl olur araştırıyorum.

Küresel koordinatlar daha uygun olabilir.

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

image

$a$ yarıçaplı (merkezi başlangıç noktasında olan) küre ve $z$ ekseni üzerinde, küre merkezine $b$ uzaklıkta ($b>a$) için uzaklığın tersi fonksiyonu  (küresel koordinatlarda, uzaklık formülü için Kosinüs Teoremini kullanarak)$$f(\rho,\theta,\phi)=\frac1{\sqrt{b^2+\rho^2-2b\rho\cos\phi}}$$ olur. (içi dolu) Küre üzerinde bu fonksiyonun integrali

$$\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_0^a \frac1{\sqrt{b^2+\rho^2-2b\rho\cos\phi}}\,\rho^2\sin\phi\;d\rho\,d\phi\,d\theta$$ olur. (sınırlar sabit olduğu için dilediğimiz sırada integrasyon yapabiliriz) $u=b^2+\rho^2-2b\rho\cos\phi$ için

$$\int_0^\pi \frac{\sin\phi}{\sqrt{b^2+\rho^2-2b\rho\cos\phi}}\:d\phi=\left.\int_{(b-\rho)^2}^{(b+\rho)^2}\frac1{b\rho}\frac1{2\sqrt{u}}\;du=\frac{\sqrt{u}}{b\rho}\right|_{(b-\rho)^2}^{(b+\rho)^2}=\frac2b$$

$$\left.\int_0^a\frac{2\rho^2}b\:d\rho=\frac{2\rho^3}{3b}\right|_0^a=\frac{2a^3}{3b}$$

$$\int_0^{2\pi}\frac{2a^3}{3b}\,d\theta=\frac{4\pi a^3}{3b}$$

$$\textrm{Ortalama değer}=\frac{\iiint_R f(x,y,z)\;dV}{\textrm{Kürenin Hacmi}}=\frac{\frac{4\pi a^3}{3b}}{\frac{4\pi a^3}{3}}=\frac1b$$



6, Haziran, 2016 DoganDonmez (3,158 puan) tarafından  cevaplandı

Şimdi Anıl dan bunun fiziksel anlamını bekliyoruz.

Tamam hocam ,Ben de bu aralar ekleyecektim , hatta genel tanımı sizin analiz 2 kitabınızda buldum , ama iyiki siz yazdınız böylesi daha açık ve spesifik.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
Doğan hocamızın yazdığı cevabın anlamı şudur:

İçi dolu ,merkezi $O$ olan mükemmel bir küremiz var. Küre yüzeyinde veya dışında bir nokta seçiyoruz bu noktaya $J$ diyelim, ve kürenin içindeki sonsuz noktaya bu $J$ noktasından doğrular çekelim, tüm doğruların uzunluğunun toplamının ortalamasını alırsak bu ortalama değer $|OJ|$ doğrusunun uzunluğuna eşit çıkıyor, iyi hoş ta bu ne demek(fizikte).

image  

Bu peruklu beyfendi Newtondur, sürekli söylediği şey şuydu "every action has an equal and opposite reaction"  Yani her etkiye karşı bir tepki vardır ve etki kuvveti tepki kuvvetine eşittir.Bu kurala tam olarak uymayan ve en gizemli olan yerçekimi kuvvetini gerçekten çok başarılı bir şekilde formülüze edebilmiş ve deneysel olarak  ışık hızının yüzde "$\sim1$" inden küçükken çok başarılı sonuçlar vermektedir.Çok dağılmayalım,formül  $F=G\dfrac{m_1.m_2}{d^2}$, $G:$Evrensel çekim sabiti,$d:$ $m_1$  ve  $m_2$  noktasal kütleleri arasındaki mesafedir.

image

Yani belli şekiiler arasında değil, noktasal kütleler arasında çalışır ,bu formül.

Peki kaskatı ve mükemmel bir küre gezegenimiz var ise üstünde duran herhangi cisme olan çekim kuvvetini nasıl hesaplayacağız ki? Ne gezegen bir noktadır ,ne de cisim, bir noktadır.

Ağırlık merkezi veya kütle merkezi diye bir şey duyduk değil mi?Bir insanın vücudundaki veya bir cismin vücudundaki her atomu hatta daha matematiksel olursak, her noktayı alır ve her noktanın aynı kütleye sahip oldugunu varsayarsak ,bu noktasal kütleler $n$ tane ise aşşağıdaki gibi her 2li kütle çiftini guruplandırıp tek bir nokta yaparız,
image

burada $m_1$  ve  $m_2$ ayrıkken ,guruplandırıp tek bir noktasal $m_1+m_2$  elde ettik, dolayısıyla elimizdeki $n$ nokta $n/2$ tane gurup oluşturdu, tekrar $2$şerli guruplandıralım ve tekrar ve tekrar.....En sonunda tek bir $M$  kütlesi buluruz ve bu kütle ,aslında tüm cismin kütlesine eş değerdir ama $M$ kütlesine ulaşırken çizdiğimiz/guruplandırdıgımız noktalar ,$M$  kütlesini bir $(x,y,z)$  noktasında belirticektir.Bu noktaya kütle merkezi deriz.

Soruda istenen ise ,eğer elmizde bir küre var ve bu kürenin tüm kütlesini tek bir merkezde toparlayabiliyorsak,bu noktanın kürenin tam merkezinde olduğudur.Dolayısıyla merkezden $b$ birim uzaklıkta bir $J$ noktası alırsak ve ikisi arasındaki kütle çekim kuvvetini hesaplamak istersek,artık çok basit bir şekilde hesaplamamız mümkün ,çünki artık elimde sadece $2$ noktasal kütlem var.

Fiziksel anlam istendiğinden soruyu şöyle de sorabilirdik;

$O$  merkezli içi dolu kürenin dışında bir $J$ noktasında alınan herhangi $m$ kütleli cismin kütle çekim kuvveti için kullanacağımız ,$F=G\dfrac{m_1.m_2}{d^2}$, buradaki $d$ değerinin aslında $|OJ|$ uzunluğuna eşit olduğunu gösterin.

Çıkan sonuç;

İçi dolu kürelerin kütleleri, küre merkezindedir, dışarıda alacağımız herhangi noktaya göre kütleçekim kuvveti ,sadece bu kütle merkezi göz önünde bulundurularak hesaplanabilinir.

6, Haziran, 2016 Anıl (6,893 puan) tarafından  cevaplandı

Yukarıdaki eşitlik ile Anıl ın açıklamasının çıkarılması için ufak birşey eklemek gerekiyor:

Problem, küre şeklinde ve sabit yoğunluklu cisimlerin yerçekim potansiyelinin (kürenin dışındaki noktalarda), tüm kütlenin merkezde olması durumu ile aynı olduğunu gösteriyor.

Yerçekimi, potansiyelin gradyantı (nın $-1$ ile çarpılmış şekli) olduğundan yerçekimi kuvveti de iki durumda aynıdır.

basit diferansiyel bilgilerimle ancak bu kadar yapabildim hocam :) noktayı içerde alsaydık ta aynı işlemleri yapabilir miydik? sanmıyorum çünki içerde kalan az alan negativ cekım yapacaktır.

...