Çift Katlı İntegral (2)

Question

$S=\{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2=4, z\geq 0\}$ ise $$\int \int_{S} z^2ds=?$$

Comments

Sanırım ilk iki ifâde $S$'yi tanımlıyor. $S=\{x^2+y^2+z^2, z\geq 0\}$ gibi...

---

Evet           

Answer 1

Bu yarıçapı $4$ olan üstyarı kürenin yüzeyini belirtir. Küresel koordinatlar burada çok işe yarar. Bu koordinatlarda $$ds=r^2\sin \theta\, d \theta\, d\varphi$$ şeklinde verilir. $r=4$ olunca, $$ds=16\sin \theta\, d \theta\, d\varphi.$$ Bunu ve $z=4\cos \theta$ ifâdesini integrale koyarsak ve üstyarı küre için $0\leq \theta \leq \pi/2$ olacağını hatırlarsak, 

$$\begin{aligned} 256\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta \sin \theta\, d \theta\, d\varphi&\\ =512\pi\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta \sin \theta\, d \theta&\\ =-512\pi\int_1^0 t^2\,dt&\\ =\frac{512\pi}{3} \end{aligned}$$ bulunur.