Çift Katlı İntegral (1)

Question

$$\int_{0}^{3}\int_{\sqrt{\frac x3}}^{1}e^{y^3}dydx=?$$

Answer 1

Fubini teoremine göre integralin sırasını değiştirmek lâzım. İntegrasyon bölgesi aşağıdadır: 

Oradaki büyük ok ilk alınan integralin yönünü gösteriyor. Şimdi biz bu alanı için önce $x$ koordinatını tarayacağız. Sınırları da düzenleyeceğiz az sonra.

$$\int \int e^{y^3}dxdy$$ olacak integralin sırası. Şimdi, önce $x$ integrali alınacağından, sınırlarını da belirlemeliyiz. Yukarıdaki kırmızı bölgeyi "soldan sağa" tararsak, önce $x=0$, sonra ise $x=3y^2$ parabolüne rastlanır. Sonra sıra $y$ integraline gelir. Burada ise $y=0$'dan $y=1$'e alınır. 

$$\int_{0}^{1} \int_{0}^{3y^2} e^{y^3}dxdy$$  Şimdi integrand $x$'ten bağımsız olduğundan,  $$\int_{0}^{1}e^{y^3} \int_{0}^{3y^2} dxdy$$ yazılır. $x$ integrali $3y^2$ verir. İntegral

  $$\int_{0}^{1}e^{y^3}3y^2dy=\int_{0}^{1}e^{t}dt=e-1$$ bulunur. Son satırda, $y^3=t$ dönüşümü yapılmıştır. Fakat bu değişken dönüşümü integralin sınırlarını değişmez bırakmıştır. Yâni bu genel değildir, değişebilirdi de!  Bu kadar.