Trigonometri İspatları-4-

Question

Bir ABC üçgeninde    a+b+c=180 ise

$cos^2a+cos^2b+cos^2c=1-2.cosH.cosJ.cosK$

$H,J,K$ sırası ile nedir?

Answer 1

Kenar uzunlukları ile karışmaması adına açı ölçülerini $A,B,C$ olarak göstereceğim.

$$1-sin^2A+cos^2B+cos^2C=1+cos^2C+(cosB-SinA)(CosB+sinA)$$

$$=1+cos^2C+[cosB-cos(\frac{\pi}{2}-A)][(cosB+cos(\frac{\pi}{2}-A)]$$

$$=1+cos^2C+[-2.sin(\frac{B+\pi/2-A}{2}) sin(\frac{B-\pi/2+A}{2})][2cos(\frac{B+\pi/2-A)}{2}. cos(\frac{B-\pi/2+A)}{2})]$$

$$=1+cos^2C+[-2.sin(\frac{2B+\pi-2A}{4}) sin(\frac{2B-\pi+2A}{4})][2cos(\frac{2B+\pi-2A)}{4}. cos(\frac{2B-\pi+2A)}{4})]$$

$$=1+cos^2C-sin(\frac{2B+\pi-2A}{2}) sin(\frac{2B-\pi+2A}{2})$$

$$=1+cos^2C+sin(\frac{\pi}{2}-(A-B)) sin(\frac{\pi}{2}-(A+B))$$

$$=1+cos^2C+cos(A-B) .cos(A+B)$$

$$=1+cos^2C+cos(A-B) .cos(\pi-C)$$

$$=1+cos^2C-cos(A-B) .cosC$$

$$=1+cosC[cosC-cos(A-B)]$$

$$=1+cosC[cos(\pi-(A+B)-cos(A-B)]$$

$$=1-cosC[cos((A+B)+cos(A-B)]$$

$$=1-2cosC.cos(\frac{A+B+A-B}{2}) cos(\frac{A+B-A+B}{2})$$

$$=1-2cosC.cosA. cosB$$  olarak bulunur.