Trigonometri İspatları-3

2 beğenilme 0 beğenilmeme
382 kez görüntülendi

Bir ABC üçgeninde   $a,b,c$   kenarlar ve kenarların karşısındaki açılar sırası ile $A,B,C$  ise    (a+b+c=180)


$\dfrac{b-c}{b+c}=\dfrac{tan(\frac{B-C}{2})}{tan(\frac{B+C}{2})}$   oldugunu gösterin

28, Nisan, 2016 Orta Öğretim Matematik kategorisinde Anil (7,729 puan) tarafından  soruldu
29, Nisan, 2016 Anil tarafından düzenlendi

Boyle olduguna emin misin? Sol taraf aci ve sag taraf oran. 

aynen hocam emınim ve çok zarif:)

hatta bu eşitligi integral cozerken falan kullanabılırız.

Sorulari pek anlamiyorum isin acikcasi. Burada $a$'nin ve dolayisiyla bir ucgen olmanin hicbir onemi yok. Tabi ki de boyle bir oran bulabiliriz, orasi da tamam. Fakat anlamsiz geldi bana sorunun sorulus tarzi.

soruyu soranın ayıbı:D

Anlamlandiracak bir seyler soyleyebilir misin, peki?

Bir de ucgenele alakasini aciklayabilir misin? Ben goremedim.

sevgili hocam  tüm bilgiler bunlar ve üçgen yerine cebirsel olarak çözücez sanırım.

Ek bilgi var mi demedim ki? Soru soruyorum. Bana gore bu soru hakkinda sorulmasi gereken sorular bunlar hatta. Neyse...

haklısınız ,benım gibi(amele gibi) cebir yapmaktansa güzel bir kıvrak nokta yakalamak istiyorsunuz ama burada öyle bir şey ben de sizin gibi göremiyorum.

İPUCU;SİNÜS TEOREMİ

Burada $a,b,c$ kenar uzunlukları olmalıdır. 

hocam malesef soruda sadece böyle verilmiş.

ama çok mantıklı geliyor kenar olması.


Ama cevap aynen şöyle

$\dfrac{b-c}{b+c}=\dfrac{tan(\frac{b-c}{2})}{tan(\frac{b+c}{2})}$


b ve c kenar uzunluğu ise aynı semboller neden açılarda kullanılmış.


10kere tekrar kontrol ettim soru aynen böyle .

Sercan hocaya da mahçup oldum, saçma sapan sorulmuş bu soru nedeni ile.

Eğer soldaki b ve c kenar ise

soruyu şöyle düzenleyelim

A,B,C üçgenin kenarları ve a,b,c bu kenarların karşılarındaki açılar ise.

$\dfrac{B-C}{B+C}=\dfrac{tan(\frac{b-c}{2})}{tan(\frac{b+c}{2})}$ olur .








sorunun soruluş şekli bu idi, bende zaten ispatlayamadıgımdan biraz yanlış anlaşılma oldu.

soruyu şimdi düzenlıyorum kenar olarak çözelim.

image

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Sinüs teoreminden;  $$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$$ dir. Burada $R$ ABC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapıdır. Buradan $$a=2RsinA,\quad b=2RsinB,\quad c=2RsinC .....(*) $$ Buradan 

$$ \frac{b+c}{a}=\frac{2R(sinB+sinC)}{2RsinA}=\frac{sinB+sinC}{sinA}$$ olacaktır.

$$\frac{b+c}{a}=\frac{sinB+sinC}{sinA}=\frac{2sin(\frac{B+C}{2}).cos(\frac{B-C}{2})}{2sin(A/2).cos(A/2)}$$  Öte yandan $A+B+C=\pi \Rightarrow \frac{A}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{B+C}{2}\Rightarrow sin(\frac{B+C}{2})=cos(\frac A2)$ dir. Dolayısıyla 

$$\frac{b+c}{a}=\frac{cos(\frac{B-C}{2})}{sin(A/2)}...................(1) $$  Yine yıldız eşitliklerinden 

$$\frac{b-c}{a}=\frac{2R(sinB-sinC)}{2RsinA}=\frac{sinB-sinC}{sinA}=\frac{2sin(\frac{B-C}{2}).cos(\frac{B+C}{2})}{2sin(A/2).cos(A/2)}=\frac{sin(\frac{B-C}{2})}{cos(A/2)}..........(2)$$ olur.

$(2)$ ve $(1)$ deki eşitliklerin taraf tarafa bölümünden;$$\frac{b-c}{b+c}=\frac{\frac{sin(\frac{B-C}{2})}{cos(A/2)}}{\frac{cos(\frac{B-C}{2})}{sin(A/2)}}=\frac{sin(\frac{B-C}{2}).sin(\frac A2)}{cos(\frac A2) cos(\frac{B-C}{2})}=tan(\frac A2).tan(\frac{B-C}{2})$$  $A+B+C=\pi\rightarrow \frac A2=\frac{\pi}{2}-\frac{(B+C)}{2}\rightarrow tan(\frac{A}{2})=cot(\frac{B+C}{2})=\frac{1}{tan(\frac{B+C}{2})}$ dir. O halde $$\frac{b-c}{b+c}=\frac{tan(\frac{B-C}{2})}{tan(\frac{B+C}{2})}..............(3)$$ dir. Burada ispatı yapılan $(1),(2),(3)$ nolu eşitliklere,formüllere MOLWEİDE formülleri diyoruz.


29, Nisan, 2016 Mehmet Toktaş (18,615 puan) tarafından  cevaplandı
29, Nisan, 2016 Anil tarafından seçilmiş

ben soruyu bu cevaba göre tekrar düzenleyeyım açılar A,B,C için.

...